Седловая точка

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Седловая точка функции z=x2-y2 (обозначена красным)
Седловая точка на карте высот (центр «восьмерки» образованной изолиниями)

Седловая точка в математическом анализе — такая точка из области определения функции, которая является стационарной для данной функции, однако не является её локальным экстремумом. В такой точке, если рассматривается функция двух переменных, образованная графиком функции поверхность обычно напоминает по форме седло или горный перевал — выпуклая в одном направлении и вогнутая в другом. На карте высот седловая точка может быть в общем случае обнаружена в месте пересечения изолиний. Например, два холма, между которыми находится высокий перевал, образуют седловую точку в вершине этого перевала: на карте высот это будет выглядеть как центр «восьмерки», образованной соответствующими изолиниями.

Седловая точка в математическом анализе[править | править исходный текст]

Проверить, является ли данная стационарная точка функции F(x,y) двух переменных седловой, можно, вычислив матрицу Гессе функции в этой точке: если гессиан будет неопределенной квадратичной формой, то данная точка — седловая. Например, составив матрицу Гессе функции z=x^2-y^2 в стационарной точке (0, 0) получим матрицу:

\begin{bmatrix}
2 & 0\\
0 & -2 \\
\end{bmatrix}

которая является неопределенной. Поэтому, точка (0, 0) данной функции — седловая. Однако вышеприведенный критерий предоставляет только достаточное условие наличия седловой точки. Например, (0, 0) является седловой точкой функции z=x^4-y^4, но матрица Гессе в данном случае будет нулевой матрицей, которую, по определению, нельзя назвать неопределенной.

В общем случае, седловой точкой гладкой функции (график которой изображает кривую, поверхность или гиперповерхность) называется такая стационарная точка, в окрестности которой данная кривая/поверхность/гиперповерхность не лежит полностью по одну сторону касательного пространства в данной точке.

График y = x3 с седловой точкой в 0

В случае функции одной переменной, седловая точка — такая точка, которая одновременно является и стационарной точкой, и точкой перегиба (точка перегиба не является локальным экстремумом).

Седловая точка матрицы[править | править исходный текст]

Седловой точкой (седловым элементом) матрицы A = (a_{i, j})_{i = 1, j = 1}^{m, n} называют элемент матрицы a_{k, l}, удовлетворяющий условиям a_{k, l} = \max_{1 \le i \le m}\ \min_{1 \le j \le n}a_{i, j} = \min_{1 \le j \le n}\ \max_{1 \le i \le m}a_{i, j}, то есть элемент матрицы, который одновременно является минимальным элементом в соответствующей строке матрицы и максимальным элементом в соответствующем столбце матрицы, или что то же самое, элемент матрицы, который одновременно является максимальным элементом в соответствующем столбце матрицы и минимальным элементом в соответствующей строке матрицы.

Примеры[править | править исходный текст]

Матрица

\begin{bmatrix}
 5 & 6 &  4 & 5\\
-2 & 5 &  3 & 7\\
 8 & 7 & -2 & 6\\
\end{bmatrix}

имеет 1 седловой элемент, равный 4, который расположен в первой строке в третьем столбце матрицы, так как он одновременно является минимальным элементом в соответствующей строке матрицы (в данном случае в первой строке матрицы) и максимальным элементом в соответствующем столбце матрицы (в данном случае в третьем столбце матрицы).

Матрица

\begin{bmatrix}
 2 & 3 & 5 & 2\\
 2 & 4 & 6 & 2\\
-2 & 7 & 2 & 0\\
\end{bmatrix}

имеет 4 седловых элемента, равных 2, которые расположены в первой строке в первом столбце, в первой строке в четвёртом столбце, во второй строке в первом столбце, во второй строке в четвёртом столбце матрицы, соответственно.

Данный пример показывает, что матрица может иметь несколько (более одной) седловых точек.

Если матрица имеет несколько седловых точек, то все их значения равны.

Так, в матрице, все элементы которой равны друг другу, все элементы являются седловыми точками.

Матрица

\begin{bmatrix}
 3 & 2 & 1\\
 1 & 3 & 4\\
\end{bmatrix}

не имеет седловой точки.

Применение[править | править исходный текст]

Вышеприведенное использование термина «седловая точка» имеет особое значение в теории игр. Так, например, в играх с нулевой суммой седловая точка платёжной матрицы является равновесием Нэша.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]

  • Gray, Lawrence F.; Flanigan, Francis J.; Kazdan, Jerry L. & Frank, David H (1990), «Calculus two: linear and nonlinear functions», Berlin: Springer-Verlag, сс. page 375, ISBN 0-387-97388-5 
  • Гильберт Д., Кон-Фоссен С., Наглядная геометрия. — URSS, Пер. с нем., Изд.5, 2010. 344
  • von Petersdorff, Tobias (2006), "Critical Points of Autonomous Systems", «Differential Equations for Scientists and Engineers (Math 246 lecture notes)», <http://www.wam.umd.edu/~petersd/stab.html> 
  • Widder, D. V. (1989), «Advanced calculus», New York: Dover Publications, сс. page 128, ISBN 0-486-66103-2