Седлоузловая бифуркация

В теории динамических систем, седлоузловая бифуркация — локальная бифуркация, при которой пара особых точек (устойчивая и неустойчивая) сливаются в полуустойчивую особую точку (седлоузел), затем исчезающую. Единственная бифуркация, которая встречается в типичных однопараметрических семействах векторных полей на прямой неустранимым образом (т.е. является типичной бифуркацией коразмерности 1).

Нормальная форма[править | править код]

анимация

Рассмотрим векторное поле на прямой, имеющее особую точку. Если особая точка невырождена (производная векторного поля в ней отлична от 0), по теореме о неявной функции, она сохраняется при малых возмущениях, и бифуркации не происходит. Таким образом, простейший случай, интересный с точки зрения теории бифуркаций: первая производная равна нулю. В типичном случае, вторая производная ненулевая. Раскладывая векторное поле в ряд Тейлора и меняя при необходимости систему координат, можно считать, что коэффициент при $x^{2}$ равен -1. В этом случае векторное поле имеет вид:

{\dot {x}}=-x^{2}+o(x^{2}).\quad \quad (1)

Поскольку особая точка вырождена, векторное поле (1) не является структурно устойчивым: сколь угодно малым возмущением можно уничтожить особую точку или «развалить» её на две. Оказывается, любое невырожденное малое возмущение этого векторного поля в окрестности особой точки 0 (топологически) эквивалентно однопараметрическому семейству

{\dot {x}}=\varepsilon -x^{2}\quad \quad (2)

Иными словами, это семейство будет версальной деформацией для уравнения (1). Семейство (2) является нормальной формой седлоузловой бифуркации.

Сценарий бифуркации[править | править код]

Рассмотрим семейство (2). Возможно три случая:

При $\varepsilon >0$ векторное поле имеет две особые точки: $x=\pm {\sqrt {\varepsilon }}$ . Одна из них ( $x=+{\sqrt {\varepsilon }}$ ) является устойчивой, другая ( $x=-{\sqrt {\varepsilon }}$ ) — неустойчивой.
При $\varepsilon =0$ векторное поле имеет единственную полуустойчивую негиперболическую особую точку 0.
При $\varepsilon <0$ векторное поле не имеет особых точек.

Таким образом, седлоузловая бифуркация может быть описана как процесс рождения полуустойчивой особой точки и последующего её распадения на устойчивую и неустойчивую, или наоборот — как процесс слияния устойчивой и неустойчивой особой точки в полуустойчивую с последующим её исчезновением.

Седлоузловая бифуркация на плоскости: $\alpha =\varepsilon$

Если рассматривать двумерное фазовое пространство и к уравнению (2) добавить уравнение ${\dot {y}}=-y$ , при $\varepsilon >0$ , особая точка $({\sqrt {\varepsilon }},0)$ будет устойчивым узлом, а особая точка $(-{\sqrt {\varepsilon }},0)$ — седлом. Сливаясь при $\varepsilon =0$ , они образуют особую точку с одним нулевым и одним ненулевым собственным значением, то есть седлоузел. Это и объясняет название бифуркации.