Сепарабельное пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сепара́бельное пространство (от лат. separabilis — отделимый) — топологическое пространство, содержащее счётное всюду плотное множество[1].

Многие пространства, возникающие в математическом анализе и геометрии, являются сепарабельными. Сепарабельные пространства обладают некоторыми привлекательными для математиков свойствами, вытекающими из возможности представить каждый элемент пространства как предел последовательности элементов из счётного множества, подобно тому, как всякое вещественное число можно представить в виде предела последовательности из рациональных чисел.

Многие теоремы могут быть доказаны конструктивно только для сепарабельных пространств. Типичным примером такой теоремы является теорема Хана — Банаха, которая в случае сепарабельных пространств может быть доказана конструктивно, но в противном случае использует для доказательства аксиому выбора.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Непрерывный образ сепарабельного пространства сепарабелен.
  • Каждое открытое топологическое подпространство сепарабельного пространства сепарабельно.
  • Не более чем счётное произведение сепарабельных пространств сепарабельно. (При этом произведение произвольного количества сепарабельных пространств уже не обязано быть сепарабельным.)
  • Множество всех вещественнозначных непрерывных функций на сепарабельном пространстве имеет мощность не больше континуума (так как непрерывная функция однозначно задаётся своими значениями на плотном подмножестве).
  • Сепарабельность в случае метрического пространства эквивалентна наличию счетной базы топологии. Компактное метрическое пространство сепарабельно.
  • Если в метрическом пространстве присутствует несчётное число элементов, попарное расстояние между которыми больше некоторой положительной константы, то пространство не является сепарабельным.

Примеры[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Дж.Келли Общая топология. — М.: Наука, 1968 — стр. 75
  2. Пространства непрерывных функций с дробным показателем гладкости.

См. также[править | править вики-текст]