Сепарабельный многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике, многочлен называется сепарабельным над полем K, если все его неприводимые множители не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля K. Существует также неэквивалентное этому определение: многочлен P сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей (формальной) производной P'. Это последнее означает, что сам многочлен P (а не только его неприводимые над K сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов два вышеуказанных, вообще говоря, различных определения эквивалентны.

Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля.

Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в конечной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена P должно иметь место представление

 P(X)=Q(X^p),

где Q — также неприводимый многочлен, а p характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена: это многочлен

P(X)=X^p-T

над полем K=\mathbb{F}_p(T) рациональных функций от одной переменной T над полем из p элементов \mathbb{F}_p. Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении T^{1/p} к полю K), мы видим, что

P(X)=X^p-(T^{1/p})^p = (X-T^{1/p})^p,

иными словами, T^{1/p} является (единственным) корнем кратности p.