Сепарабельный многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сепарабельный многочлен — многочлен над полем K, все неприводимые множители которого не имеют кратных корней в алгебраическом замыкании поля K.

Существует также альтернативное, близкое по сути, но неэквивалентное в общем случае определение: многочлен P сепарабелен, если он не имеет общих корней со своей формальной производной P'. Это последнее означает, что сам многочлен P (а не только его неприводимые над K сомножители) не имеет кратных корней в алгебраическом замыкании. В частности, для неприводимых многочленов оба определения эквивалентны.

Неприводимые многочлены над совершенными полями всегда сепарабельны — что включает, в частности, все поля характеристики ноль, а также все конечные поля.

Поскольку неприводимый многочлен (в силу алгоритма Евклида) взаимно прост со всеми многочленами меньшей степени, он может оказаться несепарабельным, только если его производная равна нулю. Поэтому, несепарабельность — феномен, проявляющийся только в конечной характеристике: для неприводимого несепарабельного многочлена P должно иметь место представление:

 P(X)=Q(X^p),

где Q — также неприводимый многочлен, а p — характеристика поля. Исходя из этого, легко построить пример несепарабельного многочлена, например, таков многочлен:

P(X)=X^p-T

над полем K=\mathbb{F}_p(T) рациональных функций от одной переменной T над полем из p элементов \mathbb{F}_p. Действительно, при переходе к алгебраическому расширению (или просто при присоединении T^{1/p} к полю K):

P(X)=X^p-(T^{1/p})^p = (X-T^{1/p})^p,

иными словами, T^{1/p} является (единственным) корнем кратности p.