Сжимающее отображение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сжимающее отображение — отображение метрического пространства в себя, уменьшающее расстояние между любыми двумя точками не менее чем в \alpha>1 раз. Согласно теореме Банаха, у сжимающего отображения полного метрического пространства в себя существует неподвижная точка, причём ровно одна. Это утверждение, также называемое «принципом сжимающих отображений», широко используется при доказательстве различных математических утверждений.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть на метрическом пространстве (\mathbb{M}, \rho) определён оператор A: \mathbb{M}\to\mathbb{M}. Он называется сжимающим на \mathbb{M}, если существует такое неотрицательное число \alpha<1, что для любых двух точек x,y\in\mathbb{M} выполняется неравенство

{\rho(Ax,Ay)\leqslant\alpha{\cdot}\rho(x,y)}.

Свойства[править | править вики-текст]

Непрерывность[править | править вики-текст]

Пусть (\mathbb{M}, \rho) — метрическое пространство и \mathbb{}A — сжимающий оператор на \mathbb{M}. Тогда \mathbb{}A — непрерывная функция на \mathbb{M}.

Доказательство

Возьмём произвольный элемент {a}\in\mathbb{M}. Надо доказать (по определению непрерывности функции), что для \forall\varepsilon > 0\quad\exists\delta > 0: для \forall{x}\in\mathbb{M}:\rho(a,x)<\delta\to{\rho(Aa,Ax)<\varepsilon}. Для сжимающего оператора достаточно взять \delta=\varepsilon:\rho(Aa,Ax)\leqslant\alpha\cdot{\rho(a,x)<\alpha\cdot\delta=\alpha\cdot\varepsilon<\varepsilon}.

Неподвижная точка[править | править вики-текст]

По теореме Банаха у сжимающего отображения на полном метрическом пространстве существует единственная неподвижная точка:

\mathbb{}x^{*}: Ax^{*}=x^{*}.

Итерационная последовательность[править | править вики-текст]

Если взять произвольный элемент метрического пространства x и рассмотреть последовательность элементов  x, Ax, A^2x,...., то эта итерационная последовательность будет сходиться к неподвижной точке оператора A.

Применение[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Теорема Банаха о неподвижной точке

Ссылки[править | править вики-текст]

  • А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
  • Зорич В. А. Математический анализ, — Любое издание.