Сигма-алгебра

У этого термина существуют и другие значения, см. Алгебра (значения).

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — это алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Содержание

Семейство $\mathfrak{S}$ подмножеств множества $X$ называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

Для любой системы множеств $\mathcal{S}$ существует минимальная сигма-алгебра $\sigma(\mathcal{S})$ , являющаяся её надмножеством.
Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств $\mathcal{S}$ ) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на $\sigma(\mathcal{S})$ , то есть на минимальную сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
σ-алгебра, порождённая случайной величиной $\xi:\,X\rightarrow \mathbb{R}$ , определяется следующим образом:

$\sigma(\xi) = \left\{\xi^{-1}(B)\mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\}$ ,

где $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве

X

, относительно которой случайная величина

ξ

всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве

X

вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции

ξ

её можно ввести и наделить таким образом пространство

X

структурой измеримого пространства так, что функция

ξ

будет измеримой.

Измеримое пространство — это пара $(X, \mathcal F)$ , где $X$ — множество, а $\mathcal F$ — сигма-алгебра его подмножеств.

Борелевская сигма-алгебра
Для любого множества $X$ можно построить тривиа́льную σ-алгебру $\{X,\varnothing\}$ , где $\varnothing$ — пустое множество.
Для любого множества $X$ можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.