Сигма-алгебра

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

σ-алгебра (си́гма-а́лгебра) — алгебра множеств, замкнутая относительно операции счётного объединения. Сигма-алгебры играют важнейшую роль в теории меры и интегралов Лебега, а также в теории вероятностей.

Определение[править | править исходный текст]

Семейство \mathfrak{S} подмножеств множества X называется σ-алгеброй, если оно удовлетворяет следующим свойствам:

  1. \mathfrak{S} содержит пустое множество.
  2. Если E\in \mathfrak{S}, то и его дополнение X\backslash E\in\mathfrak{S}.
  3. Объединение или пересечение счётного подсемейства из \mathfrak{S} также в \mathfrak{S} (достаточно требовать, чтобы только пересечение или только объединение принадлежало \mathfrak{S} поскольку \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n = X\backslash (\bigcup_{n=1}^{\infty}(X\backslash A_n)) ).

Замечания[править | править исходный текст]

  • Для любой системы множеств \mathcal{S} существует минимальная сигма-алгебра \sigma(\mathcal{S}), являющаяся её надмножеством.
  • Сигма-алгебры являются естественной областью определения счётно-аддитивных мер. Если мера определена частично (на семействе множеств \mathcal{S}) так, что выполнено условие сигма-аддитивности (синоним счётной аддитивности), эта частичная мера имеет единственное продолжение на \sigma(\mathcal{S}), то есть на минимальную сигма-алгебру, это семейство содержащую, и при этом свойство сигма-аддитивности не нарушится.
  • σ-алгебра, порождённая случайной величиной \xi:\,X\rightarrow \mathbb{R}, определяется следующим образом:
\sigma(\xi) = \left\{\xi^{-1}(B)\mid B \in \mathcal{B}(\mathbb{R})\right\},
где \mathcal{B}(\mathbb{R}) — борелевская сигма-алгебра на вещественной прямой. Это — минимальная сигма-алгебра на пространстве X, относительно которой случайная величина \xi всё ещё остаётся измеримой. Эта же конструкция применяется и в том случае, если на пространстве X вообще не выделена никакая сигма-алгебра, в этом случае с помощью функции \xi её можно ввести и наделить таким образом пространство X структурой измеримого пространства, так что функция \xi будет измеримой.

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Измеримое пространство — это пара (X, \mathcal F), где X — множество, а \mathcal F — некоторая сигма-алгебра его подмножеств.

Примеры[править | править исходный текст]

  • Борелевская сигма-алгебра
  • Для любого множества X можно построить тривиа́льную σ-алгебру \left\{X,\varnothing\right\}, где \varnothing — пустое множество.
  • Для любого множества X можно построить ещё одну тривиа́льную σ-алгебру, которая содержит все его подмножества.