Сигма-конечная мера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Си́гма-коне́чная ме́ра в функциональном анализемера, такая что всё пространство может быть представлено в виде счётного объединения измеримых множеств конечной меры.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть (X,\mathcal{F},\mu)пространство с мерой. Мера \mu называется σ-конечной, если существует счётное семейство измеримых множеств \{A_i\}_{i=1}^{\infty} \subset \mathcal{F}, такое, что \mu(A_i) < \infty,\; i\in \mathbb{N} и

X = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} A_i.

Примеры[править | править вики-текст]

\mathbb{R} = \bigcup\limits_{i=1}^{\infty} [-i,i],\; m([-i,i]) = 2i<\infty,\; i=1,2,\ldots.
  • Счётная мера \mu на \mathbb{R}, то есть такая, что \mu(\{x\}) = 1,\; \forall x \in \mathbb{R} не является σ-конечной, ибо счётное объединение любых множеств конечной меры в этом случае будет счётно, в то время как всё пространство несчётно.

Литература[править | править вики-текст]