Сигнатура (линейная алгебра)

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
(перенаправлено с «Сигнатура (математика)»)
Перейти к: навигация, поиск

Сигнату́ра — числовая характеристика квадратичной формы или псевдоевклидова пространства, в котором скалярное произведение задано с помощью соответствующей квадратичной формы.

Определение[править | править вики-текст]

Каждая квадратичная форма с действительными коэффициентами может быть приведена с помощью невырожденной линейной замены переменных к каноническому виду

x^2_1+x^2_2+\cdots+x^2_p-x^2_{p+1}-x^2_{p+2}-\cdots-x^2_{p+q}.

Разность p-q между числом положительных и отрицательных членов в этой записи называется сигнатурой квадратичной формы. Числа p и q сигнатуры не зависят от способов приведения формы к каноническому виду (закон инерции Сильвестра).

Сигнатуру квадратичной формы также записывают в виде пары чисел (p, q) или в виде (+\cdots+-\cdots-) с соответствующим числом плюсов и минусов.

Пример[править | править вики-текст]

Квадратичная форма от двух переменных x_1 x_2 может быть приведена к каноническому виду \tilde x^2_1 - \tilde x^2_2, например, с помощью линейной замены переменных x_1 = \tilde x_1+ \tilde x_2, x_2 = \tilde x_1- \tilde x_2. Сигнатура этой квадратичной формы равна нулю или может быть записана в виде (1,1) или в виде (+-).

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Мальцев А. И. Основы линейной алгебры. М.: Наука, 1975.
  • Гельфанд И. М. Лекции по линейной алгебре М.: Наука, 1971.
  • Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. М.: Наука, 1984.
  • В. А. Ильин, Э. Г. Позняк Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
  • Шафаревич И. Р., Ремизов А. О. Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.