Символ Кронекера

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Символ Кронекера (или дельта Кронекера) — индикатор равенства элементов, формально: функция двух целых переменных, которая равна 1, если они равны, и 0 в противном случае[1].

\delta_{ij} = \left\{\begin{matrix} 
1, &  i=j  \\ 
0, &  i \ne j \end{matrix}\right.

Например, \delta_{12} = 0 \ , но \delta_{33} = 1 \ .

Использование[править | править вики-текст]

В линейной алгебре символ Кронекера может использоваться для записи условия ортонормированности базиса (e_i, e_j) = \delta_{ij}, а также — в общем случае — для определения дуальных базисов (e_i, f^j) = \delta_i^j где круглыми скобками обозначено скалярное произведение, а также для краткой записи единичной матрицы размера n: (\delta_{ij})_{i,j=1}^n (элементы единичной матрицы записываются как \delta_{ij}\ ).

В тензорном исчислении символ Кронекера обычно трактуется как тензор. В частности, могут использоваться различные написания \delta_{ij}, \delta^i_j, \delta^{ij} для подчеркивания его принадлежности к определённому типу тензоров; соответственно дважды ковариантным, один раз ковариантным и один контравариантным и дважды контравариантным. При этом важно отметить, что обычная практика обозначать той же буквой тензор после поднятия или опускания индекса не распространяется на дельту Кронекера. Иначе говоря, в общем случае \delta_{ij}, \delta^i_j, \delta^{ij} — не представляют один и тот же тензор (за исключением представления в ортонормированных базисах, что, собственно говоря, является признаком, выделяющим ортонормированные базисы из всех)[2].

Также может использоваться в соответствии со своим определением для записи разнообразных результатов или условий и в других контекстах.

История[править | править вики-текст]

Символ был введён Кронекером в 1866 году[1].

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Символ Крокенера — статья из Большой советской энциклопедии
  2. Последнее верно лишь для случая положительно определенных метрик, тогда как понятие ортонормированности базиса часто распространяют и на случай псевдоевклидовых пространств, что уже не имеет прямого отношения к символу Кронекера.

См. также[править | править вики-текст]