Символ Лежандра

Текущая версия (не проверялась)

Символ Лежандра — функция, используемая в теории чисел. Введён французским математиком А. М. Лежандром. Символ Лежандра является частным случаем символа Якоби, который в свою очередь является частным случаем символа Кронекера — Якоби.

[править] Определение

Пусть $a$ — целое число, и $p$ — простое число. Символ Лежандра $\left(\frac{a}{p}\right)$ определяется следующим образом:

$\left(\frac{a}{p}\right)=0$ , если $a$ делится на $p$ .
$\left(\frac{a}{p}\right)=1$ , если $a$ является квадратичным вычетом по модулю $p$ , то есть существует такое целое $x$ , что $x^2 \equiv a \pmod p$ .
$\left(\frac{a}{p}\right)=-1$ если $a$ является квадратичным невычетом по модулю $p$

Мультипликативность: $\left(\frac{ab}{p}\right) = \left(\frac{a}{p}\right) \left(\frac{b}{p}\right)$
Если $a\equiv b \pmod p$ , то $\left(\frac{a}{p}\right) = \left(\frac{b}{p}\right)$
$\left(\frac{1}{p}\right) = 1$
$\left(\frac{-1}{p}\right) = (-1)^{(p-1)/2}$
$\left(\frac{2}{p}\right) = (-1)^{(p^2-1)/8}$
Если $q$ - простое число, не равное $p$ , то $\left(\frac{q}{p}\right) \left(\frac{p}{q}\right) = (-1)^{\frac{p-1}{2}\cdot\frac{q-1}{2}}$ — частный случай квадратичного закона взаимности.
Среди чисел $1\le a\le p-1$ ровно половина имеет символ Лежандра, равный +1, а другая половина — –1.
Символ Лежандра при $p > 2$ можно вычислить по формуле Эйлера: $\left(\frac{a}{p}\right) \equiv a^{(p-1)/2} \pmod p$

Характеры
Квадратичные характеры
Символ Лежандра • Символ Якоби • Символ Кронекера — Якоби
Характеры степенных вычетов
Характер кубического вычета • Характер биквадратичного вычета • Символ степенного вычета

просмотр • обсуждение