Симметрический многочлен

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Симметри́ческий многочле́н — многочлен от n переменных F(x_1, x_2, ..., x_n), не изменяющийся при всех перестановках входящих в него переменных.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Степенные суммы — суммы одинаковых степеней переменных, то есть F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{i=1}^n x_i^\alpha
  • Основные симметрические многочлены — многочлены вида
\sigma_k(x_1, x_2, \ldots, x_n) = \sum_{1\le j_1<j_2<\ldots <j_k\le n} x_{j_1} \cdots x_{j_k}
определённые для k = 1, 2 \ldots n, то есть такие:
\begin{array}{lcr}
  \sigma_1(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=&   x_1 + x_2 + \cdots + x_n \\
  \sigma_2(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=&   {x_1}{x_2} + {x_1}{x_3} + \cdots + {x_{n-1}}{x_n} \\
  & \cdots & \\ 
  \sigma_{n-1}(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=&   {x_1}{x_2}\ldots{x_{n-1}} + {x_1}{x_2}\ldots{x_{n-2}}{x_n}+\cdots+{x_2}{x_3}\ldots{x_n}\\
  \sigma_{n}(x_1, x_2, \ldots, x_n) &=&   {x_1}{x_2}\ldots{x_n}\\
\end{array}

Основная теорема теории симметрических многочленов[править | править вики-текст]

Основная теорема теории симметрических многочленов гласит, что любой симметрический многочлен может быть представлен единственным образом в виде многочлена от основных симметрических многочленов.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]