Симметричная матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Симметричной (Симметрической) называют квадратную матрицу, элементы которой симметричны относительно главной диагонали. Более формально, симметричной называют такую матрицу A, что  \forall i,j: a_{ij}=a_{ji}.

Это означает, что она равна её транспонированной матрице:

A = A^T

Примеры[править | править вики-текст]


\begin{pmatrix} 
a & b & c \\
b & d & e \\
c & e & f 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 3 & 0 \\
3 & 2 & 6 \\
0 & 6 & 5 
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
1 & 5 \\
5 & 7
\end{pmatrix}
,
\begin{pmatrix} 
2
\end{pmatrix}

Свойства[править | править вики-текст]

Симметричная матрица всегда квадратная.

Для любой симметричной матрицы A с вещественными элементами справедливо следующее:

Av = \lambda_1 v,\ Aw = \lambda_2 w,\ \lambda_1 \ne \lambda_2 \implies v^T w = 0

Положительно (отрицательно) определённые матрицы[править | править вики-текст]

Симметричная матрица A размерностью k \times k является положительно определённой если \forall z \in R^{k}: z^{T}Az>0.
Условие отрицательно, неположительно и неотрицательно определённой матрицы формулируется аналогично с изменением оператора сравнения в последнем неравенстве.
Для выяснения характера определённости матрицы может использоваться критерий Сильвестра.