Симметричная моноидальная категория

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории категорий, симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой операция тензорного произведения «настолько коммутативна, насколько это возможно». В симметричной моноидальной категории для любых объектов выбран изоморфизм \gamma_{A,B}:A\otimes B \rightarrow B\otimes A, причем все эти изоморфизмы вместе образуют естественное семейство.

Формальное определение[править | править исходный текст]

Симметричная моноидальная категория — это моноидальная категория, в которой для любых двух объектов выбран изоморфизм \gamma_{A,B}:A\otimes B \rightarrow B\otimes A, причем  \gamma_{B,A} \circ \gamma_{A,B} = Id, а также коммутирует следующая шестиугольная диаграмма:

CategoryBraiding-02.png

Примеры[править | править исходный текст]

  • Любая декартово замкнутая категория является симметричной замкнутой моноидальной. Это даёт такие примеры, как Set и Cat (категория множеств и категория малых категорий).
  • Векторные пространства над фиксированным полем k с тензорным произведением образуют моноидальную категорию. Отображение  V\otimes W\to W\otimes V , определенное на разложимых элементах вида v\otimes w и продолженное по линейности, очевидным образом задаёт на ней структуру симметричной моноидальной категории.

Моноидальные категории с заузливанием[править | править исходный текст]

Моноидальная категория с заузливанием — это обобщение симметричной моноидальной категории; для неё уже не требуется, что  \gamma_{B,A} \circ \gamma_{A,B} = \text{Id}. Однако вместо коммутативности одной шестиугольной диаграммы приходится требовать коммутативность двух:

CategoryBraiding-02.png CategoryBraiding-03.png

В симметричном случае обе эти диаграммы также коммутируют, но коммутативность одной из них следует из коммутативности другой и свойства  \gamma_{B,A} \circ \gamma_{A,B} = \text{Id}.

Название «моноидальная категория с заузливанием» (англ. braided monoidal category) произошло от группы кос (англ. braid group). Действительно, эти понятия глубоко связаны между собой. Для моноидальной категории с заузливанием, так же как и для обычной моноидальной категории, верна теорема о когерентности, утверждающая, что любая диаграмма, на стрелках которой написаны композиции \gamma, \alpha, \lambda, \rho, e, \otimes, \text{Id} и обратных к ним, коммутативна. Более точно, она утверждает, что в моноидальной категории с заузливанием B любые два естественно изоморфных функтора из Bn в B, построенные из применений \otimes к аргументам и скобок, естественно изоморфны единственным, каноническим образом. Каждой стрелке, на которой написано преобразование, составленное из указанных выше символов, можно сопоставить элемент группы кос (например, преобразованию \gamma сопоставляется «перекрутка» двух нитей, легко видеть, что  \gamma_{B,A} \circ \gamma_{A,B} \neq \text{Id}). Оказывается, что два таких функтора естественно изоморфны, если им сответствует один и тот же элемент группы кос.

Симметричные моноидальные функторы[править | править исходный текст]

Моноидальный функтор F между симметричными моноидальными категориями C и D называется симметричным, если соответствующее ему естественное преобразование \phi коммутирует с \lambda, то есть для любых A, B категории C коммутирует следующая диаграмма:

300

Симметричные моноидальные естественные преобразования[править | править исходный текст]

Моноидальное естественное преобразование между моноидальными функторами (F,\Phi,\phi) и (G,\Gamma,\gamma) между моноиадбными категориями: C\to D — это естественное преобразование \alpha:C\to D, такое что коммутируют следующие две диаграммы:

Symmetric monoidal natural transformation1.jpg
Symmetric monoidal natural transformation2.jpg

Для симметричных моноидальных естественных преобразований не требуется дополнительных условий, кроме того, что они действуют между симметричными моноидальными функторами.

Моноидальная эквивалентность[править | править исходный текст]

C и D — симметрично моноидально эквивалентные категории, если существуют симметричные моноидальные функторы F:C\to D, G:D\to C и симметричные моноидальные естественные изоморфизмы FG\Leftarrow 1_C и GF\Leftarrow 1_D.

Маклейн доказал теорему о том, что любая симметричная моноидальная категория моноидально (симметрично) эквивалентна строгой моноидальной (и симметричной) категории.

Также как определяется 2-категория малых категорий, можно определить 2-категории малых моноидальных категорий и малых симметричных моноидальных категорий, с соответствующими функторами и естественными преобразованиями.

Примечания и ссылки[править | править исходный текст]