Симметричное отношение

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В математике бинарное отношение R на множестве X называется симметричным, если для каждой пары элементов множества (a, b) выполнение отношения a\,R\,b влечёт выполнение отношения b\,R\,a.

Формально, отношение R симметрично, если \forall a, b \in X,\ a\,R\,b \Rightarrow b\,R\,a.

Антисимметричность отношения не является антонимом симметричного отношения. Оба свойства для некоторых отношений выполняются одновременно, а для некоторых не выполняется ни одно.

Примеры[править | править вики-текст]

Любое отношение эквивалентности, по определению, является симметричным (а также рефлексивным и транзитивным). Также симметрично отношение связи вершин графа (неориентированного).

Не являются симметричными (за исключением случая тождественной ложности отношения) отношения порядка (как полного, так и частичного), а также отношение следования вершин ориентированного графа. Однако, отношение сравнимости для частичного порядка является, по построению, симметричным (хотя, в отличие от самого́ порядка, не транзитивным).

Матрица симметричного отношения симметрична относительно главной диагонали (совпадает с транспонированной). Если в графе симметричного отношения существует связь между двумя вершинами, то существует и обратная связь.