Симплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

Симплекс или n-симплекс (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника. Определяется как выпуклая оболочка n+1 точек, не лежащих в одной n-мерной гиперплоскости. Эти точки называются вершинами симплекса. В частности:

0-симплекс это точка;
1-симплекс это отрезок;
2-симплекс это треугольник;
3-симплекс это тетраэдр.

Выпуклая оболочка любых m+1 из n+1 вершин n-симплекса сама является симплексом и называется m-гранью симплекса. 0-грани это вершины, 1-грани это рёбра, n-1-грани называют просто гранями.

[править] Стандартный симплекс

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс это подмножество $\mathbb{R}^{n+1}$ , определяемое как:

$\Delta^n=\{(t_0,\dots t_n)\mid {(\sum_i t_i = 1)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}$

Его вершинами являются точки:

e₀=(1, 0, … 0)

e₁=(0, 1, … 0)

…

e_n=(0, 0, … 1)

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин $(v_0, v_1,\dots v_n)$ :

$(t_0,\dots t_n) \to \sum_i t_i v_i$

Значения t_i для данной точки называются её барицентрическими координатами.

[править] Геометрические свойства

Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину: например, правильный треугольник или правильный тетраэдр. Правильный симплекс всегда является правильным политопом.

Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:

$V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)$

Определитель Кэли-Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:

$V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix} 0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}$

где $d i j = | v i - v j |$ — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула — обобщение формулы Герона для треугольников.