Симплекс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Определение[править | править вики-текст]

Симплекс есть выпуклая оболочка n+1 точки n-мерного евклидова пространства, которые предполагаются аффинно независимыми (т.е. не лежат в одной гиперплоскости). Эти точки называются вершинами симплекса.

Связанные определения[править | править вики-текст]

  • Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс[править | править вики-текст]

Зелёный треугольник — стандартный 2-симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество \mathbb{R}^{n+1}, определяемое как:

\Delta^n=\{(t_0,\dots, t_n)\mid {(\sum_i t_i = 1)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}.

Его вершинами являются точки:

e0=(1, 0, …, 0),
e1=(0, 1, …, 0),
en=(0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин (v_0, v_1,\dots, v_n):

(t_0,\dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.

Значения ti для данной точки называются её барицентрическими координатами.

Свойства[править | править вики-текст]

где d_{ij}=|v_i - v_j| — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.
  • Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен \frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}.
  • Радиус R описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению
    (R{\cdot}V)^2=T,
где V-объем симплекса и
T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^2} \begin{vmatrix}
0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\
 d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\
 d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\
\vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots&  \\
 d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\
\end{vmatrix}

Построение[править | править вики-текст]

Преобразование 1-симплекса в 2-симплекс
Преобразование 2-симплекса в 3-симплекс

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n+1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n+1 — минимальное число таких точек n–мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n–мерного многогранника.

Простейший n–мерный многогранник с количеством вершин n+1 называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами:

  1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства;
  2. Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса;
  3. Как следует из описанной в п. 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера[править | править вики-текст]

Построение описанной 2-сферы вокруг 1-симплекса с дополнительной точкой

Вокруг любого n-симплекса можно описать n-сферу.

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой отрезок, совпадающий с самим 1-симплексом, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s0 радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s0, то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s0, то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n–1)-сфера Sn-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n–1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид


x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2. \qquad (1)

Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, hS) и радиусом R, причём


R^2=r^2+h_S^2.

Уравнение этой сферы


x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2+(x_n-h_S)^2 = r^2+h_S^2

или


x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2-x_n^2+2x_nh_S. \qquad (2)

Подставив в уравнение (2) xn = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом hS сфера Sn-1 является подмножеством сферы Sn, а именно – её сечением плоскостью xn = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (X1, X2, X3, ..., Xn ). Преобразуем уравнение (2) к виду


x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 + x_n^2 = r^2+2x_nh_S

и подставим в него координаты точки С:


X_1^2+X_2^2+X_3^2+ ... + X_{n-1}^2 + X_n^2 = r^2+2X_nh_S.

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния RC от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду


R_C^2 = r^2+2X_nh_S,

откуда можно выразить параметр hS:


h_S = \frac{R_C^2-r^2}{2X_n}.

Очевидно, что hS существует при любых RC, Xn и r, кроме Xn = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы Sn–1, всегда можно найти такой параметр hS, что на сфере Sn c центром (0, 0, 0, ..., hS) будет лежать и сфера Sn–1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n+1 точек можно описать n–сферу, если n из этих точек лежат на одной (n–1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n–1)–плоскости.

Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что n–сферу можно описать вокруг любых n+1 точек, если они не лежат в одной (n–1)–плоскости.

Число граней симплекса[править | править вики-текст]

Симплекс имеет n+1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L+1 вершин симплекса определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L+1 вершину из полного набора n+1 вершин.

Обозначим символом К(L,n) число L–мерных граней в n–многограннике, тогда для n-симплекса

K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},

где C^m_n – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n+1:

K(0,n) = K(n-1,n) = n+1.

Соотношения в правильном симплексе[править | править вики-текст]

В правильном n-мерном симплексе со стороной a обозначим

  • H_n как высоту,
  • V_n как объём,
  • R_n как радиус описанной сферы,
  • r_n как радиус вписанной сферы,
  • \alpha_n как двугранный угол,

Тогда

  • H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}
  • V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}=  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}
  • R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}
  • r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}
  • \cos \alpha = \frac{1}{n}
  • R_n = H_n \frac{n}{n-1}
  • a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2
  • V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n
  • r_n = R_n^2 - R_{n-1}^2

Формулы для правильного симплекса[править | править вики-текст]

Число L-мерных граней K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1}
Высота H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}} H_n = R_n \frac{n+1}{n} H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2} H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3} H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}
Объём V_n =  \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}} V_n =  \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n} V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4} V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12} V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}
Радиус описанной сферы R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}} a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}} R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3} R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4} R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}
Радиус вписанной сферы r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}} r_n = \frac{R_n}{n} r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6} r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12} r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}
Двугранный угол \cos \alpha = \frac{1}{n}

Литература[править | править вики-текст]

  • Александров П. С., Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
  • Понтрягин Л. С., Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]