Симплектическое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой \omega, то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

\omega(\mathbf{a}, \mathbf{b}) = - \omega(\mathbf{b}, \mathbf{a})
\omega(\mathbf{a}, \,\lambda\,\mathbf{b} + \mu\,\mathbf{c}) = \lambda\,\omega(\mathbf{a}, \mathbf{b}) + \mu\,\omega(\mathbf{a}, \mathbf{c})
\forall \mathbf{a}\in \mathbb{S},\, \mathbf{a}\neq 0 ~~ \exists \mathbf{b}\in \mathbb{S}\,:\, \omega(\mathbf{a}, \mathbf{b}) \neq 0

Симплектическая форма обычно обозначается \left\langle \cdot , \cdot \right\rangle. В отличие от формы скалярного произведения, для которой

\forall \mathbf{a}\neq 0 \,:\,(\mathbf{a},\mathbf{a}) >0,

для симплектической формы всегда \left\langle \mathbf{a} , \mathbf{a} \right\rangle = 0

Связанные определения[править | править исходный текст]

  • Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму:
\left\langle \mathbf{a} , \mathbf{b} \right\rangle = \left\langle L(\mathbf{a}) , L(\mathbf{b}) \right\rangle
  • Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S).
  • Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей.
  • Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим, если ограничение симплектической формы на s невырождено.
  • Два вектора \mathbf{a},\mathbf{b} \in S называются косоортогональными, если
\left\langle \mathbf{a} , \mathbf{b} \right\rangle = 0
Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.
  • Косоортогональным дополнением подпространства s \sub S называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из s.

Каноническая структура[править | править исходный текст]

Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор \mathbf{q_1} \in \mathbb{S}, ~~ \dim \,\mathbb{S} = 2 n. В силу невырожденности \omega существует такой вектор \mathbf{p_1} \in \mathbb{S}, что

\left\langle \mathbf{p_1} , \mathbf{q_1} \right\rangle = 1

Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов \mathbf{p_1} и \mathbf{q_1}. Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение \omega на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором \omega заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис

(\mathbf{p_1}, \dots, \mathbf{p_n}, \mathbf{q_1}, \dots, \mathbf{q_n}),

такой что

\left\langle \mathbf{p_i} , \mathbf{q_j} \right\rangle = \delta_{i j}, ~~ 
\left\langle \mathbf{q_i} , \mathbf{q_j} \right\rangle = 
\left\langle \mathbf{p_i} , \mathbf{p_j} \right\rangle = 0

где \delta_{i j} — символ Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.

В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид

\Omega_n = \begin{bmatrix} 0 & I_n \\ -I_n & 0 \end{bmatrix}

где I_n — единичная матрица порядка n. \Omega_n является симплектической матрицей.

Строение подпространств[править | править исходный текст]

Рассмотрим подпространство W \sub \mathbb{S} и его косоортогональное дополнение W^\perp. В силу невырожденности \omega:

\dim \,W + \dim \,W^\perp = \dim\,\mathbb{S}

Кроме того,

(W^\perp)^\perp = W

В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:

  • Симплектические: W \cap W^\perp = 0. Это верно тогда и только тогда, когда ограничение \omega на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
(p_1, \dots, p_k,0,\dots,0; ~ q_1,\dots,q_k,0,\dots,0),\, 2k=\dim\,W
  • Изотропные: W \sub W^\perp. Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда \omega тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
(p_1, \dots, p_k,0,\dots,0; ~ 0,\dots,0),\, k=\dim\,W.
  • Коизотропные: W^\perp \sub W. W коизотропно тогда и только тогда, когда \omega невырождена на факторпространстве W\,/\,W^\perp. Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
(p_1, \dots, p_n; ~ q_1,\dots,q_k,0,\dots,0),\, n+k=\dim\,W,\, 2n=\dim\,\mathbb{S}
  • Лагранжевы: W^\perp = W. W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид
(p_1, \dots, p_n; ~ 0,\dots,0),\, n=\dim\,W, \,2n =\dim\,\mathbb{S}

Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом \Lambda_n. Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы \mathbb{U}_n по ортогональной подгруппе \mathbb{O}_n, при этом

\dim \,\Lambda_n = \frac{n(n+1)}{2}

Примеры[править | править исходный текст]

  • В комплексном пространстве \mathbb{C}^n можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле
\left\langle u, w \right\rangle = \operatorname{Im} \left[ u,w \right]
где \left[ \cdot,\cdot \right] — эрмитова форма. Эта форма задаёт симплектическую структуру на овеществлении \mathbb{R}^{2n} пространства \mathbb{C}^n.
  • Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве V\oplus V^*, где V^* — сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле
\left\langle w, u \right\rangle = 1, ~~u^* = w, ~~u\in V
\left\langle w, u \right\rangle = 0, ~~u^* \neq w,~~ \forall u,w \in V\oplus V^*
и продолжается на все остальные векторы по линейности.

См. также[править | править исходный текст]

Литература[править | править исходный текст]