Симплициальный объём

Симплициальный объём — топологический инвариант, определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия $M$ обычно обозначается $\|M\|$.

Определение

Пусть $M$ — замкнутое многообразие, тогда

$\|M\|=\inf \sum _{i}|r_{i}|$,

где $r_{i}$ — рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса $[M]$ через сумму сингулярных симплексов.

$[M]=\sum _{i}r_{i}\Delta _{i}.$

Свойства

• Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
  • Более того, Симплициальный объём асферического (и даже рационально существенного) многообразия с гиперболической фундаментальной группой положителен.

• Для любых многообразий $M$ и $N$ той же размерности

  $\|M\#N\|=\|M\|+\|N\|$,

где $\#$ обозначает связную сумму.

• Существуют положительные числа $a(m)$ и $b(m)$ такие, что если сумма размерностей $\dim M+\dim N\leqslant m$, то

  $a(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\|\leqslant \|M\times N\|\leqslant b(m)\cdot \|M\|\cdot \|N\|$,

где $\times$ обозначает прямое произведение.

• Для любого отображения $f\colon M\to N$

  $\|M\|\geqslant |\deg f|\cdot \|N\|,$

где $\deg f$ обозначает степень отображения $f$. В частности:

• Если многообразие $M$ допускает отображение $M\to M$ степени $>1$, то $\|M\|=0$.
• Для любого $n\geqslant 1$ симплициальный объём $n$-мерной сферы равен $0$.

• Теорема Бессона — Куртуа — Гало. Следующее неравенство

  $n!\cdot \mathop {\rm {vol}} M>\|M\|$

выполняется для произвольного замкнутого $n$-меного риманова пространства $M$ с кривизной Риччи не меньше $-{\tfrac {1}{n-1}}$.

Литература

• Прасолов, Виктор Васильевич. Элементы теории гомологий. — МЦНМО, 2006. — 448 с. — (Классические направления в математике).