Симплициальный объём

Симплициальный объём — топологический инвариант определённый для замкнутых многообразий. Впервые рассмотрен Громовым. Симплициальный объём многообразия $M$ обычно обозначается $\|M\|$.

Определение

Пусть $M$ — замкнутое многообразие, тогда

$\|M\|=\inf\sum_i|r_i|$

где $r_i$ рациональные коэффициенты в представлении его фундаментального класса $[M]$ через сумму сингулярных симплексов.

$[M]=\sum_i r_i\Delta_i.$

Свойства

• Теорема Громова: Симплициальный объём многообразия постоянной отрицательной кривизны равен отношению его объёма к объёму регулярного бесконечного симплекса в пространстве Лобачевского той же кривизны.
• Для любых многообразий $M$ и $N$ той же размерности

  $\| M\#N\|= \| M\|+\|N\|$

где $\#$ обозначает связую сумму.

• Существуют положительные числа $a(m)$ и $b(m)$ такие что если сумма размерностей $\dim M+\dim N\le m$ то

  $a(m)\| M\|\times \|N\|\le \| M\times N\|\le b(m)\| M\|\times \|N\|$

где $\times$ обозначает прямое произведение.

• Для любого отображения $f:M\to N$

  $\|M\|\ge (\deg f)\|N\|$, где $\deg f$ обозначает степень отображения $f$. В частности,

  • Если многообразие $M$ допускает отображение $M\to M$ степени $> 1$ то $\|M\|=0$.
  • Для любого $n\ge 1$ симплициальный объём $n$-мерной сферы равен $0$.