Синглетон (математика)
В математике синглетоном называется множество с единственным элементом. Например, множество {0} является синглетоном.
Свойства[править]
Заметим, что множество {{1, 2, 3}} также является синглетоном: единственный элемент является множеством (которое само по себе не синглетон).
Множество является синглетоном тогда и только тогда, когда его кардинальное число равно 1. В теоретико-множественном построении натуральных чисел, число 1 определено как синглетон {0}.
В аксиоматической теории множеств, существование синглетонов появляется вследствие аксиомы о пустом множестве и аксиомы спаривания: первая из них вводит понятие пустого множества {}, а вторая, применённая к паре {} и {}, вводит понятие синглетона {{}}.
Если A является любым множеством и S является любым синглетоном, тогда существует одна и только одна функция из A в S, функция, которая отображает каждый элемент множества A в единственный элемент множества S.
Применения[править]
В топологии, пространство является T1-пространством, если и только если каждый синглетон замкнут.
Структуры, построенные на синглетонах часто служат терминальными объектами или нулевыми объектами различных категорий:
- Утверждение выше показывает, что множества-синглетоны являются терминальными объектами в категории Set.
- Любой синглетон может быть преобразован в топологическое пространство ровно одним способом (все подмножества открыты). Эти синглетонные топологические пространства являются терминальными объектами в категории топологических пространств и непрерывных отображений.
- Любой синглетон может быть преобразован в группу ровно одним способом (единственный элемент служит нейтральным элементом). Такие синглетонные группы являются нулевыми объектами в категории групп и групповых гомоморфизмов.
