Скалярный потенциал

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Скалярный потенциал векторного поля \mathbf{A} (чаще просто потенциал векторного поля) — это скалярная функция \phi такая, что во всех точках области определения поля

\mathbf{A}=\operatorname{grad}\,\phi,

где \operatorname{grad}\phi обозначает градиент \phi. В физике обычно потенциалом называют величину, противоположную по знаку (потенциал силы, потенциал электрического поля).

Потенциальные поля[править | править вики-текст]

График гравитационного потенциала однородного диска в его плоскости.

Поле называется потенциальным, если для него существует скалярный потенциал. Для потенциального поля криволинейный интеграл между двумя точками

\phi(\mathbf r) = \int\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int\limits_a^b \mathbf{A}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{\dot r}(t)\,dt

не зависит от пути интегрирования C = \left\{ \mathbf{r}(t) | t \in [a,b] \right\}, соединяющего эти точки. Это равносильно тому, что интеграл по любому замкнутому контуру C равен нулю:

\int\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 0

Непрерывное векторное поле в односвязной области трёхмерного пространства потенциально тогда и только тогда, когда оно безвихревое:

\mathbf{A} = \operatorname{grad}\,\phi \Leftrightarrow \operatorname{rot}\,\mathbf{A} = 0

Обобщением этой теоремы на случай произвольного конечномерного пространства является лемма Пуанкаре. Для таких пространств существует изоморфизм между векторными полями \mathbf{A} и 1-формами \omega_{\mathbf{A}}, при этом вопрос о существовании потенциала сводится к вопросу об обращении внешнего дифференцирования. Лемма Пуанкаре утверждает, что любая замкнутая форма в односвязной области конечномерного пространства точна.

Заметим, что в общем случае неодносвязного пространства условия замкнутости недостаточно. Легко проверить, что поле на плоскости

\mathbf{A} = \left( \frac{-y}{x^2+y^2}, \frac{x}{x^2 + y^2} \right)

является безвихревым в любой односвязной области, не содержащей точку (0,0), однако

\int\limits_C \mathbf{A}(\mathbf{r})\cdot\, \mathbf{dr} = 2\pi

для любого контура C, один раз обходящего вокруг начала координат против часовой стрелки.

Ньютонов потенциал[править | править вики-текст]

Из любого векторного поля в \mathbb{R}^3 можно выделить его потенциальную составляющую. Соответствующий ей потенциал можно записать в явном виде, не производя разложение самого поля. Он определяется интегралом, называющимся ньютоновым потенциалом:

\phi(\mathbf{r}_0) = \frac{1}{4\pi} \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\operatorname{div}\,\mathbf{A}}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV

При этом дивергенция поля должна убывать на бесконечности быстрее, чем \frac{1}{r^2}. В случае безвихревого поля этот интеграл даёт скалярный потенциал поля.

Дивергенцию \operatorname{div}\,\mathbf{A} можно отождествить с плотностью зарядов \rho(\mathbf{r}). В частности, для поля

\mathbf{A} = - \frac{\mathbf{r}}{r^3}

получаем обычную формулу для ньютонова гравитационного потенциала точечной массы, расположенной в начале координат:

\phi(\mathbf{r}_0) = \int\limits_{\mathbb{R}^3} \frac{\delta(\mathbf{r})}{\left| \mathbf{r}-\mathbf{r}_0 \right|} dV = \frac{1}{r}

где \delta(\mathbf{r}) — трёхмерная дельта-функция Дирака.

См. также[править | править вики-текст]