Скобка Пуассона

В классической механике ско́бки Пуассо́на (также возможно ско́бка Пуассо́на и скобки Ли) — это оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона.

Скобки Пуассона векторных полей

Пусть $v$ и $u$ — векторные поля на $M$, $L_v$ — оператор производной Ли по направлению векторного поля $v$. Коммутатор операторов $L_v$ и $L_u$ есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле $[v,u]$, для которого

$L_v L_u - L_u L_v \equiv [L_v, L_u] = L_{[v,u]}$

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

$[v,u] = L_v u$

В голономном базисе оно принимает вид

$[v, u]^\mu = v^\alpha \partial_\alpha u^\mu - u^\alpha \partial_\alpha v^\mu$

Свойства

• Линейность: $[\alpha v + \beta u, w] = \alpha [v,w] + \beta [u,w]$
• Антикоммутативность: $[u,v] = - [v,u]$
• Тождество Якоби: $[u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]] = 0$
• Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.

Скобки Пуассона функций

Пусть $M$ — симплектическое многообразие. Симплектическая структура $\omega$ на $M$ позволяет ввести на множестве функций на $M$ операцию скобок Пуассона, обозначаемую $\{ \cdot,\cdot \}$ или $[\cdot,\cdot]$ и задаваемую по правилу

$[F,G] \ \stackrel{\text{def}}{=} \ L_{\mathbf F}G \equiv dG(\mathbf F) \equiv \omega(\mathbf F, \mathbf G)$

где $\mathbf F$ (также $I dF$) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона $F$. Оно определяется через дифференциал функции $F$ и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой $\omega$. Именно, для любого векторного поля $\mathbf v$

$dF(\mathbf v) \ \stackrel{\text{def}}{=} \ \omega (\mathbf v, \mathbf F)$

Алгебра Ли функций Гамильтона

В силу кососимметричности и билинейности $\omega$, скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

$[F, G] = - [G, F]$

$[F, \lambda G + \mu H] = \lambda [F,G] + \mu [F,H]$

Выражение

$[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]]$

является линейной функцией вторых производных каждой из функций $F,G,H$. Однако,

$\begin{array}{r} [F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] = \\ -L_{I d[G,H]} F + L_{\mathbf G} L_{\mathbf H} F - L_{\mathbf H} L_{\mathbf G} F = \\ \left( -L_{I d[G,H]} + L_{[\mathbf G, \mathbf H]} \right) F \end{array}$

Это выражение не содержит вторых производных $F$. Аналогично, оно не содержит вторых производных $G$ и $H$, а потому

$[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] =0$

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на $M$ структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции $H$

$L_{I d[F,G]}H = L_{[\mathbf F, \mathbf G]}H$,

то есть

$I d[F,G] = [\mathbf F, \mathbf G]$

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства

• Скобки Пуассона невырождены:

$\forall F \not\equiv 0 \ \exists H: [F,H] \ne 0$

• Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:

$[F, GH] = [F,G] H + G [F,H]$

• Функция $F$ является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом $H$ тогда и только тогда, когда $[F,H] = 0$
• Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
• Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона $H$, заданной на многообразии $M$. Полная производная по времени от произвольной функции $f\colon M\times \R \to \R$ запишется в виде

$\begin{array}{cl} \frac{d}{dt} f = & \frac{\partial f}{\partial t} + \dot q \frac{\partial f}{\partial q} + \dot p \frac{\partial f}{\partial p} = \\ & \frac{\partial f}{\partial t} + L_{\mathbf H}f = \\ & \frac{\partial }{\partial t} f + [H,f] \end{array}$

• В канонических координатах $(q^i,p_j)$ скобки Пуассона принимают вид

$[f,g] = \sum_{i=1}^{N} \left( - \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} + \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}} \right)$