Скобка Пуассона
Материал из Википедии — свободной энциклопедии
В классической механике ско́бки Пуассо́на[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на[2]) — это оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона.
Содержание |
[править] Скобки Пуассона векторных полей
Пусть v и u — векторные поля на M, Lv — оператор производной Ли по направлению векторного поля v. Коммутатор операторов Lv и Lu есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле [v,u], для которого[3][Notes 1]
![L_v L_u - L_u L_v \equiv [L_v, L_u] = L_{[v,u]}](http://upload.wikimedia.org/math/9/0/1/901528ee36d63a9436a2098c9fca14c9.png)
Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:
- [v,u] = Lvu − Luv
В голономном базисе оно принимает вид
![[v, u]^\mu = v^\alpha \partial_\alpha u^\mu - u^\alpha \partial_\alpha v^\mu](http://upload.wikimedia.org/math/b/e/d/bedd4c24bfaa80a7db91d48141e908b2.png)
[править] Свойства
- Линейность: [αv + βu,w] = α[v,w] + β[u,w]
- Антикоммутативность: [u,v] = − [v,u]
- Тождество Якоби: [u,[v,w]] + [v,[w,u]] + [w,[u,v]] = 0
- Операция коммутирования задаёт на множестве векторных полей структуру алгебры Ли.
[править] Скобки Пуассона функций
Пусть M — симплектическое многообразие. Симплектическая структура ω на M позволяет ввести на множестве функций на M операцию скобок Пуассона, обозначаемую 
или ![[\cdot,\cdot]](http://upload.wikimedia.org/math/3/5/8/3587c5df5edf1176ed7afc1f20f5d8a9.png)
и задаваемую по правилу[1][Notes 2]
![[F,G] \ \stackrel{def}{=} \ L_{\mathbf F}G \equiv dG(\mathbf F) \equiv \omega(\mathbf F, \mathbf G)](http://upload.wikimedia.org/math/a/f/e/afec09ffc53eb3855f1c1a1ddb017285.png)
где 
(также IdF) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона F. Оно определяется через дифференциал функции F и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой ω. Именно, для любого векторного поля 
[править] Алгебра Ли функций Гамильтона
В силу кососимметричности и билинейности ω, скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:
- [F,G] = − [G,F]
- [F,λG + μH] = λ[F,G] + μ[F,H]
Выражение
- [F,[G,H]] + [G,[H,F]] + [H,[F,G]]
является линейной функцией вторых производных каждой из функций F,G,H. Однако,
![\begin{array}{r}
[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] = \\
-L_{I d[G,H]} F + L_{\mathbf G} L_{\mathbf H} F - L_{\mathbf H} L_{\mathbf G} F = \\
\left( -L_{I d[G,H]} + L_{[\mathbf G, \mathbf H]} \right) F
\end{array}](http://upload.wikimedia.org/math/e/c/1/ec1967e9b85ffe25e7913bda0dd1a51d.png)
Это выражение не содержит вторых производных F. Аналогично, оно не содержит вторых производных G и H, а потому
- [F,[G,H]] + [G,[H,F]] + [H,[F,G]] = 0
то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на M структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции H
![L_{I d[F,G]}H = L_{[\mathbf F, \mathbf G]}H](http://upload.wikimedia.org/math/a/4/d/a4df105394db49fd13007336bb9ce4ae.png)
,
то есть
![I d[F,G] = [\mathbf F, \mathbf G]](http://upload.wikimedia.org/math/a/7/0/a70b9fdc26b23b3d4a18433f112d04ad.png)
— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.
[править] Свойства
- Скобки Пуассона невырождены:
![\forall F \not\equiv 0 \ \exists H: [F,H] \ne 0](http://upload.wikimedia.org/math/7/e/4/7e4f0087843ae8561405cf243ae85e39.png)
- Скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Лейбница:
- [F,GH] = [F,G]H + G[F,H]
- Функция F является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом H тогда и только тогда, когда [F,H] = 0
- Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
- Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона H, заданной на многообразии M. Полная производная по времени от произвольной функции
запишется в виде
![\begin{array}{cl}
\frac{d}{dt} f = & \frac{\partial f}{\partial t} + \dot q \frac{\partial f}{\partial q} + \dot p \frac{\partial f}{\partial p} = \\
& \frac{\partial f}{\partial t} + L_{\mathbf H}f = \\
& \frac{\partial }{\partial t} f + [H,f]
\end{array}](http://upload.wikimedia.org/math/b/f/5/bf542abe268560f76bc5bcc78b3f481a.png)
- В канонических координатах (qi,pj) скобки Пуассона принимают вид[Notes 3]
![[f,g] = \sum_{i=1}^{N} \left(
- \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} +
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}}
\right)](http://upload.wikimedia.org/math/a/2/7/a27faf911935b0667cda8d0c73d6d88f.png)
[править] Примечания
- ↑ Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако, при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
- ↑ В некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно
![[F,G] \ \stackrel{def}{=} \ dF(\mathbf G) = {-L_{\mathbf F}G.}](http://upload.wikimedia.org/math/0/3/0/030342dceb6c3fabef63afe683bdb82b.png)
При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении ![L_{I d[F,G]} = - L_{[\mathbf F, \mathbf G]}](http://upload.wikimedia.org/math/6/1/9/61974a22a8f90d080ddbfcd3ba202eb9.png)
и формуле для коммутатора полей. - ↑ В [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].
[править] Литература
- ↑ 1 2 Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-Х.
- ↑ Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
- ↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.
