Скобка Пуассона

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В классической механике ско́бки Пуассо́на[1] (также возможно ско́бка Пуассо́на[2] и скобки Ли) — это оператор, играющий центральную роль в определении эволюции во времени динамической системы. Эта операция названа в честь С.-Д. Пуассона.

Скобки Пуассона векторных полей[править | править вики-текст]

Пусть v и u — векторные поля на M, L_v — оператор производной Ли по направлению векторного поля v. Коммутатор операторов L_v и L_u есть дифференциальный оператор первого порядка, поэтому существует такое векторное поле [v,u], для которого[3][Notes 1]

L_v L_u - L_u L_v \equiv [L_v, L_u] = L_{[v,u]}

Это векторное поле называется коммутатором, скобками Ли или скобками Пуассона двух векторных полей. Явное выражение для скобок Ли полей:

[v,u] = L_v u

В голономном базисе оно принимает вид

[v, u]^\mu = v^\alpha \partial_\alpha u^\mu - u^\alpha \partial_\alpha v^\mu

Свойства[править | править вики-текст]

Все, кроме последних двух, доказываются простым подсчётом.

Скобки Пуассона функций[править | править вики-текст]

Пусть M — симплектическое многообразие. Симплектическая структура \omega на M позволяет ввести на множестве функций на M операцию скобок Пуассона, обозначаемую \{ \cdot,\cdot \} или [\cdot,\cdot] и задаваемую по правилу[1][Notes 2]

[F,G] \ \stackrel{\text{def}}{=} \ L_{\mathbf F}G \equiv dG(\mathbf F) \equiv \omega(\mathbf F, \mathbf G)

где \mathbf F (также I dF) — векторное поле, соответствующее функции Гамильтона F. Оно определяется через дифференциал функции F и изоморфизм между 1-формами и векторами, задаваемый (невырожденной) формой \omega. Именно, для любого векторного поля \mathbf v

dF(\mathbf v) \ \stackrel{\text{def}}{=} \ \omega (\mathbf v, \mathbf F)

Алгебра Ли функций Гамильтона[править | править вики-текст]

В силу кососимметричности и билинейности \omega, скобка Пуассона также будет кососимметричной и билинейной:

[F, G] = - [G, F]
[F, \lambda G + \mu H] = \lambda [F,G] + \mu [F,H]

Выражение

[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]]

является линейной функцией вторых производных каждой из функций F,G,H. Однако,

\begin{array}{r}
[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] = \\ 
-L_{I d[G,H]} F + L_{\mathbf G} L_{\mathbf H} F - L_{\mathbf H} L_{\mathbf G} F = \\
\left( -L_{I d[G,H]} + L_{[\mathbf G, \mathbf H]} \right) F
\end{array}

Это выражение не содержит вторых производных F. Аналогично, оно не содержит вторых производных G и H, а потому

[F, [G, H]] + [G, [H, F]] + [H, [F, G]] =0

то есть скобки Пуассона удовлетворяют тождеству Якоби. Таким образом, скобки Пуассона позволяют ввести на множестве функций на M структуру алгебры Ли. Из тождества Якоби следует, что для любой функции H

L_{I d[F,G]}H = L_{[\mathbf F, \mathbf G]}H,

то есть

I d[F,G] = [\mathbf F, \mathbf G]

— операция построения гамильтонова векторного поля по функции задаёт гомоморфизм алгебры Ли функций в алгебру Ли векторных полей.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Скобки Пуассона невырождены:
\forall F \not\equiv 0 \ \exists H: [F,H] \ne 0
[F, GH] = [F,G] H + G [F,H]
  • Функция F является первым интегралом для гамильтоновой системы с гамильтонианом H тогда и только тогда, когда [F,H] = 0
  • Скобка Пуассона двух первых интегралов системы — снова первый интеграл (следствие тождества Якоби).
  • Рассмотрим эволюцию гамильтоновой системы с функцией Гамильтона H, заданной на многообразии M. Полная производная по времени от произвольной функции f\colon M\times \R \to \R запишется в виде
\begin{array}{cl}
\frac{d}{dt} f = & \frac{\partial f}{\partial t} + \dot q \frac{\partial f}{\partial q} + \dot p \frac{\partial f}{\partial p} = \\
& \frac{\partial f}{\partial t} + L_{\mathbf H}f = \\
& \frac{\partial }{\partial t} f + [H,f]
\end{array}
[f,g] = \sum_{i=1}^{N} \left( 
- \frac{\partial f}{\partial q^{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} +
\frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q^{i}}
\right)


Примечания[править | править вики-текст]

  1. Некоторые авторы [Арнольд] используют определение с противоположным знаком, при этом также изменяется знак в определении скобок Пуассона функций (см. ниже). Этот подход продиктован, по-видимому, стремлением сохранить как естественные геометрические определения гамильтоновых полей и их свойств, так и традиционную форму записи скобок Пуассона в координатах. Однако, при этом разрушается естественная симметрия между коммутаторами производных Ли, векторов и функций. Дальнейшие проблемы возникают при переходе к общим понятиям дифференциальной геометрии (формы, векторнозначные формы, различные дифференцирования), где отсутствие указанной симметрии неоправданно усложняет формулы. Поэтому в данной статье будут использованы другие определения, с оговорками.
  2. В некоторых книгах [Арнольд] принято определение с противоположным знаком, а именно [F,G] \ \stackrel{def}{=} \ dF(\mathbf G) = {-L_{\mathbf F}G.} При этом также определяется с противоположным знаком коммутатор векторных полей (см. выше), а выражение для скобки Пуассона в координатах принимает традиционный вид, однако появляется лишний минус в выражении L_{I d[F,G]} = - L_{[\mathbf F, \mathbf G]} и формуле для коммутатора полей.
  3. В [Арнольд], [Гантмахер] выражение имеет противоположный знак (аналогично вышеуказанным замечаниям). Традиционно выражение записывают как в [Гантмахер].

Литература[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике: Учебное пособие для вузов / Под ред. Е. С. Пятницкого. — 3-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. — 264 с. — ISBN 5-9221-0067-X.
  2. Арнольд В. И. Математические методы классической механики. — 5-е изд., стереотипное. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 416 с. — 1500 экз. — ISBN 5-354-00341-5
  3. Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Natural operations in differential geometry, — Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. — ISBN 3-540-56235-4, ISBN 0-387-56235-4.