Слабая производная

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

«Слабая производная» (в математике) — обобщение понятия производной функции («сильная производная») для функций, интегрируемых по Лебегу (то есть из пространства L_1), но не являющихся дифференцируемыми.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть u — функция из L^1([a,b]). Функцию v(t) из L^1([a,b]) называют «слабой производной» u, если

\int_a^b u(t)\varphi'(t)dt=-\int_a^b v(t)\varphi(t)dt

для всех непрерывно дифференцируемых функций  \varphi при \varphi(a)=\varphi(b)=0. Это определение основано на методе интегрирования по частям.

Обобщая на n измерений, если u и v принадлежат пространству L_{loc}^1(U) локально интегрируемых функций для некоторой области U \subset \mathbb{R}^n, и если \alpha — это мультииндекс, то v называется слабой производной u порядка \alpha, если

\int_U u D^{\alpha} \varphi=(-1)^{|\alpha|} \int_U v\varphi

для всех \varphi \in C^{\infty}_c (U) — финитных в U бесконечно гладких функций.

Если у функции u есть слабая производная, то её часто обозначают через D^{\alpha}u, так как она единственна с точностью до множества меры нуль.

Примеры[править | править вики-текст]

  • Функция u : [−1, 1] → [0, 1], u(t) = |t|, которая не имеет производной в точке t = 0, тем не менее имеет на промежутке [−1, 1] слабую производную v, так называемую «функцию знака» (sgn), определяемую следующим соотношением:
v \colon [-1,1]\to [-1,1] \colon t \mapsto v(t) = \begin{cases} 1, & t > 0; \\ 0, & t = 0; \\ -1, & t < 0. \end{cases}
Это не единственная производная u: всякая функция w совпадающая с v почти всюду также будет слабой производной u. Обычно это не является проблемой, так как с точки зрения и пространств Lp, и пространств Соболева они эквивалентны.
 \int D(t) \varphi(t) dt = 0
Таким образом,  v(t)\equiv 0 есть слабая производная функции D. Это должно быть интуитивно понятно, ведь D в пространстве Lp эквивалентна тождественному нулю.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Если две функции являются слабыми производными одной и той же функции, то они совпадают на множестве полной меры (почти всюду). Если, как принято в пространствах L_p, полагать почти всюду равные функции эквивалентными, то слабая производная определена единственным образом.
  • Если u имеет обычную («сильную») производную, тогда она будет являться слабой производной. В этом смысле, слабая производная является обобщением сильной. Более того, классические правила для производных от суммы и от произведения функций сохраняются и для слабых производных.

Развитие[править | править вики-текст]

Понятие слабой производной заложило основу для построения т. н. слабых решений в пространстве Соболева, которые оказались полезными в теории дифференциальных уравнений и в Функциональном анализе.

Литература[править | править вики-текст]

  • Михлин С.Г. Курс математической физики. — 2-е, стереотипное. — СПб: Лань, 2002. — 576 с. — ISBN 5-8114-0468-9
  • Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. — 3-е изд., переработанное и дополненное. — М: Наука, 1988. — 336 с. — ISBN 5-02-013756-1
  • Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М: Наука, 1973. — 576 с.