След матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если a_{ij} элементы матрицы A, то её след  \mathop{\rm tr} \;A=\sum_i a_{i i}.

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа:  \mathop{\rm Tr} \;A (от англ. trace — след), и  \mathop{\rm Sp} \;A (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ковариантного и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: Tr A=I_1(A)=g\cdot\cdot A.

Свойства[править | править вики-текст]

Геометрическое свойство[править | править вики-текст]

  •  \mathop{\rm det}( E + G\varepsilon ) = 1 + \mathop{\rm tr} G\ \varepsilon \ + o(\varepsilon),
где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.
  • Следствия:
    •  \mathop{\rm det}\ \mathop{\rm exp}( G\alpha ) = 1 +  \mathop{\rm tr} G\ \alpha \ для малых α
    • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также[править | править вики-текст]