След матрицы

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если $a_{ij}$ элементы матрицы $A$, то её след $\mathop{\rm tr} \;A=\sum_i a_{i i}$.

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: $\mathop{\rm Tr} \;A$ (от англ. trace — след), и $\mathop{\rm Sp} \;A$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ковариантного и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ковариантности и контравариантности, след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: $Tr A=I_1(A)=g\cdot\cdot A$.

Свойства

• Линейность $\mathop{\rm tr} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop{\rm tr} \;A+\beta \mathop{\rm tr} \;B$.
• Цикличность $\mathop{\rm tr} \;(A B C) = \mathop{\rm tr} \;(B C A) = \mathop{\rm tr} \;(C A B)$.

  Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: $\mathop{\rm tr}\;(C^{-1}AC) = \mathop{\rm tr}\; A\$.

• $\mathop{\rm tr} \;A=\mathop{\rm tr} \;A^{T}$, где T означает операцию транспонирования.
• $\ln \det A = \mathop{\rm tr} \; \ln A$.
• Если $A\otimes B$ тензорное произведение матриц A и B, то $\mathop{\rm tr} \;A\otimes B =(\mathop{\rm tr} \;A) (\mathop{\rm tr} \;B)$.
• След матрицы равен сумме её собственных значений.
• Определитель квадратной матрицы $n\times n$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие $n$. Например $\det A_{3\times 3} = \frac{1}{6}\left((\mathop{\rm tr} A)^3-3\mathop{\rm tr} A\cdot \mathop{\rm tr} A^2+2\mathop{\rm tr} A^3\right)$.

Геометрическое свойство

• $\mathop{\rm det}( E + G\varepsilon ) = 1 + \mathop{\rm tr} G\ \varepsilon \ + o(\varepsilon)$,

где E — единичная матрица, ε — бесконечно малое число. То есть бесконечно малое линейное преобразование изменяет объём на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами, скорость изменения объёма при таком преобразовании равна следу его генератора.

• Следствия:
  • $\mathop{\rm det}\ \mathop{\rm exp}( G\alpha ) = 1 + \mathop{\rm tr} G\ \alpha \$ для малых α
  • Для того, чтобы преобразования не меняли объём, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.

См. также

• След (теория полей)