След матрицы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Текущая версия (не проверялась)

У этого термина существуют и другие значения, см. След.

След матрицы — операция, отображающая пространство квадратных матриц в поле, над которым определена матрица (для действительных матриц — в поле действительных чисел, для комплексных матриц — в поле комплексных чисел). След матрицы — это сумма элементов главной диагонали матрицы, то есть если $a i j$ элементы матрицы $A$ , то её след $\mathop{\rm tr} \;A=\sum_i a_{i i}$ .

В математических текстах встречается два обозначения операции взятия следа: $\mathop{\rm Tr} \;A$ (от англ. Trace — след), и $\mathop{\rm Sp} \;A$ (от нем. Spur — след).

В тензорном исчислении следом тензора второго ранга (один раз ко- и один раз контравариантного) называется сумма его диагональных элементов. Независимо от ко- и контравариантности след тензора второго ранга вычисляется как двойное скалярное произведение тензора с метрическим тензором и является первым инвариантом: $Tr A=I_1(A)=g\cdot\cdot A$ .

[править] Свойства

Линейность $\mathop{\rm tr} \;(\alpha A+\beta B)=\alpha \mathop{\rm tr} \;A+\beta \mathop{\rm tr} \;B$

Цикличность $\mathop{\rm tr} \;(A B) = \mathop{\rm tr} \; (B A)$ , $\mathop{\rm tr} \;(A B C) = \mathop{\rm tr} \;(B C A) = \mathop{\rm tr} \;(C A B)$

Следствие: след одинаков для всех подобных матриц: $\mathop{\rm tr}\;(C^{-1}AC) = \mathop{\rm tr}\; A\$

$\mathop{\rm tr} \;A=\mathop{\rm tr} \;A^{T}$ , где T означает операцию транспонирования.

$\ln \det A = \mathop{\rm tr} \; \ln A$

Если $A\otimes B$ тензорное произведение матриц A и B, то $\mathop{\rm tr} \;A\otimes B =(\mathop{\rm tr} \;A) (\mathop{\rm tr} \;B)$

След матрицы равен сумме её собственных значений.

Определитель квадратной матрицы $n\times n$ можно выразить через следы степеней этой матрицы, не превосходящие $n$ . Например $\det A_{3\times 3} = \frac{1}{6}\left((\mathop{\rm tr} A)^3-3\mathop{\rm tr} A\cdot \mathop{\rm tr} A^2+2\mathop{\rm tr} A^3\right)$

[править] Геометрическое свойство

$\mathop{\rm det}( I + G\varepsilon ) = 1 + \mathop{\rm tr} G\ \varepsilon \$

в первом порядке по ε, где ε - бесконечно малое число. Т.е. бесконечно малое линейное преобразование изменяет объем на величину, пропорциональную следу генератора этого преобразования в первом порядке по его малому параметру. Иными словами - скорость изменения объема при таком преобразовании равна следу его генератора.

Следствия:
- $\mathop{\rm det}\ \mathop{\rm exp}( G\alpha ) = 1 + \mathop{\rm tr} G\ \alpha \$ для малых α
- Для того, чтобы преобразования не меняли объем, достаточно того, чтобы их генераторы были бесследовыми.