След (теория полей)

След — отображение элементов конечного расширения поля EÉ K в исходное поле K, определяемое следующим образом:

Пусть E — конечное расширение K степени n=[E:K], αÎE — какой-нибудь элемент из E. Он определяет линейное преобразование на E:x→αx. Этому преобразованию в некотором базисе e₁,e₂…e_n соответствует матрица A:

(αe₁,αe₂…αe_n)=(e₁,e₂…e_n)*A. След этой матрицы называется следом элемента α. Так как для другого базиса данному отображению будет соответствовать подобная матрица A'=CAC^-1 , то по элементарной теореме линейной алгебры след не зависит от выбранного базиса. Он обозначается Tr_K^E(α)

Свойства следа

• Tr_K^E(α+β)=Tr_K^E(α)+Tr_K^E(β)
• Tr_K^E(cα)=cTr_K^E(α) при сÎK
• Если Е — сепарабельно, то Tr_K^E — ненулевой функционал, если несепарабельно, то Tr_K^E=0.
• Для башни КÌ EÌ F имеем: Tr_K^E(Tr_E^F(α))=Tr_K^E(α) (транзитивость следа)

• Если E=K(α) и f(x)=xⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₁x+a₀ — неприводимый многочлен для α то Tr_K^K(α)(α)= -a_n-1

Выражение следа через изоморфизмы E над K

Пусть σ₁,σ₂…σ_m — все изоморфизмы E в алгебраическое замыкание поля K, являющиеся изоморфизмами над K то-есть оставляющие неподвижными все элементы K. Если E сепарабельно то m равно степени [E:К]=n . Тогда для следа существует следующее выражение:

Tr_K^E(a)=σ₁(a)+σ₂(a)+…+σ_n(a)

Если E несепарабельно то m≠n — степени [E:K], в этом случае n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p: n=pⁱm.

Тогда Tr_K^E(a)=pⁱ(σ₁(a)+σ₂(a)+…+σ_m(a))=0

Литература

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра -М:, Наука, 1975
• Зарисский О., Самюэль П. Коммутативная алгебра т.1 -М:, ИЛ, 1963
• Ленг С. Алгебра -М:, Мир, 1967

См. также

• Норма (теория полей)