Сложение

Сложение (прибавление) — одна из основных операций (действий) в разных разделах математики, позволяющая объединить два объекта (в простейшем случае — два числа). Более строго сложение — бинарная операция, определённая на некотором множестве, элементы которого мы будем называть числами, при которой двум числовым аргументам (слагаемым) a и b сопоставляется итог (сумма), обычно обозначаемый с помощью знака «плюс»: a+b.

Определение сложения

Арифметика

В арифметике сложение (прибавление) есть бинарная операция, определённая на множестве натуральных чисел, которая удовлетворяет следующим свойствам:

1. a + 1 = a'
2. a + b' = a' + b = (a + b)'

где a' обозначает натуральное число следующее за a.

Таблицу сложения см. например для десятичной системы счисления.

Абстрактная алгебра

В абстрактной алгебре сложением может называться любая бинарная, коммутативная и ассоциативная операция. В случае, если на этом множестве определено также умножение, то сложение предполагается дистрибутивным по отношению к нему.

Свойства сложения в арифметике

Сложение обладает следующими свойствами:

• коммутативностью (переместительный закон): a + b = b + a
• ассоциативностью (сочетательный закон): (a + b) + c = a + (b + c)
• дистрибутивностью относительно умножения (распределительный закон): $a \cdot (b + c) = a\cdot b + a\cdot c$

В других системах (чисел, объектов) любое из этих свойств может не выполняться.

Обозначение операции

Первое появление знаков «плюс» и «минус».

Знак плюс для операции сложения плюса (а также знак минуса) придумали в немецкой математической школе «коссистов» (то есть алгебраистов). Они используются в «Арифметике» Иоганна Видмана, изданной в 1489 году. До этого сложение обозначалось буквой p (plus) или латинским словом et (союз «и»), а вычитание — буквой m (minus). У Видмана символ плюса заменяет не только сложение, но и союз «и». Происхождение этих символов неясно, но, скорее всего, они ранее использовались в торговом деле как признаки прибыли и убытка. Оба символа вскоре получили общее распространение в Европе — за исключением Италии, которая ещё около века использовала старые обозначения.

Запись при помощи буквы Σ

См. Сумма (математика).

См. также

• Соглашение Эйнштейна
• Сумма