Случайное блуждание

Случайное блуждание — математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени. В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, как правило, такая модель является существенным упрощением реального процесса.

Одномерное дискретное случайное блуждание

Графики $X_i(i)$ восьми одномерных случайных блужданий.

Пример двумерного случайного блуждания. 229 шагов, длина шага от $-0,5$ до $0,5$, равновероятные направления $x$ или $y$.

Одномерное дискретное случайное блуждание — это случайный процесс $\{Y_n\}_{n \geqslant 0}$ с дискретным временем, имеющий вид

$Y_n = Y_0 + \sum\limits_{i=1}^n X_i$,

где

• $Y_0$ — начальное состояние;
• $X_i = \begin{cases} 1, & p_i \\ -1, & q_i \equiv 1 - p_i \end{cases}, \quad 0 < p_i < 1, \quad i \in \mathbb{N}$;
• случайные величины $Y_0,X_i, i=1,2,\ldots$ совместно независимы.

Случайное блуждание как цепь Маркова

Одномерное дискретное случайное блуждание является цепью Маркова с целыми состояниями, чьё начальное распределение задаётся функцией вероятности случайной величины $X_0$, а матрица переходных вероятностей имеет вид

$P \equiv (p_{ij})_{i,j\in \mathbb{Z}} = \left( \begin{matrix} \ddots & \ddots & \ddots & \\ & q_{-1} & 0 & p_{-1} & \\ & & q_0 & 0 & p_0 \\ & & & q_1 & 0 & p_1 \\ & & & & \ddots & \ddots & \ddots \end{matrix} \right)$,

то есть

$p_{i,i+1}\equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = i+1 \mid X_n = i ) = p_i,$

$p_{i,i-1}\equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = i-1 \mid X_n = i ) = q_i, \quad i \in \mathbb{Z},$

$p_{ij} \equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = j \mid X_n = i ) = 0, \quad |i-j| \not= 1.$

Общее определение

Пусть $(X_1, X_2, \dotsc)$ последовательность независимых случайных величин со значениями в $\R^d$ и одинаковыми распределениями. Тогда случайный процесс заданный последовательностью

$Y_n = Y_0 + \sum_{j=1}^n X_j, \qquad n \in \N_0$

называется случайным блужданием в $\R^d$ или d-мерным случайным блужданием. Случайное блуждание это дискретный случайный процесс с независимыми стационарными приращениями.

Теорема Донскера

Рассмотрим случайное блуждание $Y_n=\sum\limits_{i=1}^{n}{X_i}$, где $EX_i=0, DX_i=\sigma^2<\infty$.

Центральная предельная теорема утверждает, что $\frac{Y_n}{\sigma\sqrt{n}}\rightarrow N(0,1), n\rightarrow\infty$ по распределению

Однако, в случае случайных блужданий, это утверждение можно значительно усилить.

Построим по $Y_n$ случайный процесс $S_n(t), t\in [0,1]$, определив его следующим образом: $S_n\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{Y_{k}}{\sigma\sqrt{n}}$, а при остальных $t$ мы доопределим процесс линейным продолжением:

$S_n(t)=(k+1-nt)S_n\left(\frac{k}{n}\right)+(nt-k)S_n\left(\frac{k+1}{n}\right), t\in\left(\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right)$

Из центральной предельной теоремы $\forall t$ $S_n(t)\rightarrow N(0,t), n\rightarrow\infty$ по распределению

Это означает сходимость одномерных распределений процесса $S_n(t)$ к одномерным распределениям винеровского процесса. Теорема Донскера, называемая также принципом инвариантности, утверждает, что имеет место слабая сходимость процессов, $S_n(t)\rightarrow W(t),n\rightarrow\infty$

Слабая сходимость процессов означает сходимость непрерывных по винеровской мере функционалов, то есть позволяет рассчитывать значения функционалов от броуновского движения (например максимума, минимума, последнего нуля, момента первого достижения уровня и других) предельным переходом от простого случайного блуждания.

См. также

• Задача о разорении игрока