Случайное блуждание

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Случайное блуждание — математическая модель процесса случайных изменений — шагов в дискретные моменты времени. При этом предполагается, что изменение на каждом шаге не зависит от предыдущих и от времени. В силу простоты анализа эта модель часто используется в разных сферах в математике, экономике, физике, но, как правило, такая модель является существенным упрощением реального процесса.

Одномерное дискретное случайное блуждание[править | править вики-текст]

Графики X_i(i) восьми одномерных случайных блужданий.
Пример двумерного случайного блуждания. 229 шагов, длина шага от -0,5 до 0,5, равновероятные направления x или y.

Одномерное дискретное случайное блуждание — это случайный процесс \{Y_n\}_{n \geqslant 0} с дискретным временем, имеющий вид

 Y_n = Y_0 + \sum\limits_{i=1}^n X_i,

где

  • Y_0 — начальное состояние;
  • X_i = 
\begin{cases}
1, & p_i \\
-1, & q_i \equiv 1 - p_i
\end{cases}, \quad 0 < p_i < 1, \quad i \in \mathbb{N}
;
  • случайные величины Y_0,X_i, i=1,2,\ldots совместно независимы.

Случайное блуждание как цепь Маркова[править | править вики-текст]

Одномерное дискретное случайное блуждание является цепью Маркова с целыми состояниями, чьё начальное распределение задаётся функцией вероятности случайной величины X_0, а матрица переходных вероятностей имеет вид

P \equiv (p_{ij})_{i,j\in \mathbb{Z}} = 
\left(
\begin{matrix}
\ddots & \ddots & \ddots & \\
       & q_{-1} & 0 & p_{-1} &  \\
       &        & q_0 & 0    & p_0  \\
       &        &     & q_1 & 0 & p_1 \\
       &        &     &     & \ddots & \ddots & \ddots 
\end{matrix}
\right),

то есть

p_{i,i+1}\equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = i+1 \mid X_n = i ) = p_i,
p_{i,i-1}\equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = i-1 \mid X_n = i ) = q_i, \quad i \in \mathbb{Z},
p_{ij} \equiv \mathbb{P}(X_{n+1} = j \mid X_n = i ) = 0, \quad |i-j| \not= 1.

Общее определение[править | править вики-текст]

Пусть (X_1, X_2, \dotsc) последовательность независимых случайных величин со значениями в \R^d и одинаковыми распределениями. Тогда случайный процесс заданный последовательностью

Y_n = Y_0 + \sum_{j=1}^n X_j, \qquad n \in \N_0

называется случайным блужданием в \R^d или d-мерным случайным блужданием.[1] Случайное блуждание это дискретный случайный процесс с независимыми стационарными приращениями.

Теорема Донскера[править | править вики-текст]

Рассмотрим случайное блуждание Y_n=\sum\limits_{i=1}^{n}{X_i}, где  EX_i=0, DX_i=\sigma^2<\infty.

Центральная предельная теорема утверждает, что \frac{Y_n}{\sigma\sqrt{n}}\rightarrow N(0,1), n\rightarrow\infty по распределению

Однако, в случае случайных блужданий, это утверждение можно значительно усилить.

Построим по Y_n случайный процесс S_n(t), t\in [0,1], определив его следующим образом: S_n\left(\frac{k}{n}\right)=\frac{Y_{k}}{\sigma\sqrt{n}}, а при остальных t мы доопределим процесс линейным продолжением:

S_n(t)=(k+1-nt)S_n\left(\frac{k}{n}\right)+(nt-k)S_n\left(\frac{k+1}{n}\right), t\in\left(\frac{k}{n};\frac{k+1}{n}\right)

Из центральной предельной теоремы \forall t S_n(t)\rightarrow N(0,t), n\rightarrow\infty по распределению

Это означает сходимость одномерных распределений процесса S_n(t) к одномерным распределениям винеровского процесса. Теорема Донскера, называемая также принципом инвариантности, утверждает, что имеет место слабая сходимость процессов, S_n(t)\rightarrow W(t),n\rightarrow\infty

Слабая сходимость процессов означает сходимость непрерывных по винеровской мере функционалов, то есть позволяет рассчитывать значения функционалов от броуновского движения (например максимума, минимума, последнего нуля, момента первого достижения уровня и других) предельным переходом от простого случайного блуждания.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Bert Fristedt, Lawrence Gray: A modern approach to probability theory. Birkhäuser, Boston/Basel/Berlin 1997, ISBN 978-0-8176-3807-8, S. 165.

См. также[править | править вики-текст]