Случайный процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Перейти к: навигация, поиск

Случа́йный проце́сс (случайная функция) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или пространства.

Содержание

[править] Определение

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}). Параметризованное семейство \{X_t\}_{t\in T} случайных величин

X_t(\cdot) : \Omega \to \mathbb{R},\quad t \in T,

где T произвольное множество, называется случайной функцией.

[править] Терминология

  • Если T \subset \mathbb{R}, то параметр t \in T может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция {Xt} называется случайным процессом. Если множество T дискретно, например T \subset \mathbb{N}, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
  • Если T \subset \mathbb{R}^n, где n \geqslant 1, то параметр t \in T может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности термин случайный процесс часто используется как безусловный синоним термина случайная функция.

[править] Классификация

  • Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени \;t_1, t_2, \ldots, t_n, но не от самих значений этих величин. В противном случае, он называется нестационарным.
  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдующие моменты времени, называются марковскими.
  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если
\forall n=3, 4, ..., \forall t_1, t_2, ..., t_n : t_1<t_2<...<t_n:
(X_{t_2}-X_{t_1}), (X_{t_3}-X_{t_2}), ..., (X_{t_n}-X_{t_{n-1}}) — независимые случайные величины.
  • Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.

[править] Замечание

Пусть дан случайный процесс \{X_t\}_{t \in T}. Тогда для каждого фиксированного t\in T Xt — случайная величина. Если фиксирован элементарный исход \omega \in \Omega, то X_t:T \to \mathbb{R} — детерминистическая функция параметра t. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции {Xt}.

[править] Примеры

  • \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}, где \;X_i \sim \mathrm{N}(0,1) называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
  • Пусть f:\mathbb{R} \to \mathbb{R}, и Y — случайная величина. Тогда
X_t(\omega) = f(t) \cdot Y(\omega)

является случайным процессом.

[править] См. также

[править] Ссылки

[править] Источники

  • А.А. Свешников Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
  • С.И. Баскаков Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.
Источник — «http://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%A1%D0%BB%D1%83%D1%87%D0%B0%D0%B9%D0%BD%D1%8B%D0%B9_%D0%BF%D1%80%D0%BE%D1%86%D0%B5%D1%81%D1%81»