Случайный процесс

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.
Другое определение:
Случайным называется процесс u(t), мгновенные значения которого являются случайными величинами.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть дано вероятностное пространство (\Omega, \mathcal{F},\mathbb{P}). Параметризованное семейство \{X_t\}_{t\in T} случайных величин

X_t(\cdot)\colon \Omega \to \mathbb{R},\quad t \in T,

где T произвольное множество, называется случайной функцией.

Терминология[править | править вики-текст]

  • Если T \subset \mathbb{R}, то параметр t \in T может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция \{X_t\} называется случайным процессом. Если множество T дискретно, например  T \subset \mathbb{N}, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.
  • Если T \subset \mathbb{R}^n, где n \geqslant 1, то параметр  t \in T может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Данная классификация нестрогая. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция».

Классификация[править | править вики-текст]

  • Случайный процесс X(t) называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени t1, t2,…, число которых конечно или счетно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
  • Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
  • Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени \;t_1, t_2, \ldots, t_n, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
  • Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
  • Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определенного порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом [1].
  • Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
  • Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
  • Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора t_1, t_2, ..., t_n, где n>2, а t_1<t_2<...<t_n, случайные величины (X_{t_2}-X_{t_1}), (X_{t_3}-X_{t_2}), ..., (X_{t_n}-X_{t_{n-1}}) независимы в совокупности.
  • Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
  • Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.

Траектория случайного процесса[править | править вики-текст]

Пусть дан случайный процесс \{X_t\}_{t \in T}. Тогда для каждого фиксированного t\in T X_t — случайная величина, называемая сечением. Если фиксирован элементарный исход \omega \in \Omega, то X_t\colon T \to \mathbb{R} — детерминированная функция параметра t. Такая функция называется траекто́рией или реализа́цией случайной функции \{X_t\}.

Примеры[править | править вики-текст]

  • \{X_n\}_{n \in \mathbb{N}}, где \;X_i \sim \mathrm{N}(0,1) называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
  • Пусть f\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}, и Y — случайная величина. Тогда
X_t(\omega) = f(t) \cdot Y(\omega)

является случайным процессом.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Яглом А. М. Корреляционная теория процессов со случайными стационарными параметрическими приращениями // Математический сборник. Т. 37. Вып. 1. С. 141—197. — 1955.

См. также[править | править вики-текст]

Источники[править | править вики-текст]

  • А. А. Свешников. Прикладные методы теории случайных функций. — Гл.ред.физ.-мат.лит., 1968.
  • С. И. Баскаков. Радио/технические цепи и сигналы. — Высшая школа, 2000.