Смешанное произведение

Сме́шанное произведе́ние $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$ — скалярное произведение вектора $\mathbf {a}$ на векторное произведение векторов $\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\mathbf {a} \cdot \left(\mathbf {b} \times \mathbf {c} \right)$.

Иногда его называют тройным скалярным произведением векторов, по всей видимости из-за того, что результатом является скаляр (точнее — псевдоскаляр).

Геометрический смысл: модуль смешанного произведения численно равен объёму параллелепипеда, образованного векторами $\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c}$.

Свойства

• Смешанное произведение кососимметрично по отношению ко всем своим аргументам:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\mathbf {a} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-(\mathbf {b} ,\mathbf {a} ,\mathbf {c} )=-(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ,\mathbf {a} )=-(\mathbf {a} ,\mathbf {c} ,\mathbf {b} );$

т. е. перестановка любых двух сомножителей меняет знак произведения. Отсюда следует, что

$\langle \mathbf {a} ,[\mathbf {b} ,\mathbf {c} ]\rangle =\langle [\mathbf {a} ,\mathbf {b} ],\mathbf {c} \rangle$

• Смешанное произведение $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ в правой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )={\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$

• Смешанное произведение $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ в левой декартовой системе координат (в ортонормированном базисе) равно определителю матрицы, составленной из векторов $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$, взятому со знаком «минус»:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=-{\begin{vmatrix}a_{x}&a_{y}&a_{z}\\b_{x}&b_{y}&b_{z}\\c_{x}&c_{y}&c_{z}\end{vmatrix}}.$

В частности,

• Если какие-то два вектора коллинеарны, то с любым третьим вектором они образуют смешанное произведение, равное нулю.
• Если три вектора линейно зависимы (т. е. компланарны, лежат в одной плоскости), то их смешанное произведение равно нулю.
• Геометрический смысл — Смешанное произведение $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ по абсолютному значению равно объёму параллелепипеда (см. рисунок), образованного векторами $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ и $\mathbf {c}$; знак зависит от того, является ли эта тройка векторов правой или левой.
• Квадрат смешанного произведения векторов равен определителю Грама, определяемому ими.

Три вектора, определяющие параллелепипед.

• Смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивита:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=\sum _{i,j,k}\varepsilon _{ijk}a^{i}b^{j}c^{k}$

(в последней формуле в ортонормированном базисе все индексы можно писать нижними; в этом случае эта формула совершенно прямо повторяет формулу с определителем, правда, при этом автоматически получается множитель (-1) для левых базисов).

Обобщение

В $n$-мерном пространстве естественным обобщением смешанного произведения, имеющего смысл ориентированного объема, является определитель матрицы $n\times n$, составленной из строк или столбцов, заполненных координатами векторов. Смысл этой величины — ориентированный $n$-мерный объем (подразумевается стандартный базис и тривиальная метрика).

В произвольном базисе произвольной размерности смешанное произведение удобно записывается с помощью символа (тензора) Леви-Чивиты соответствующей размерности:

$(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,\mathbf {c} ,\ldots )=\sum _{i,j,k,\ldots }\varepsilon _{ijk\ldots }a^{i}b^{j}c^{k}\ldots$

В двумерном пространстве таковым служит псевдоскалярное произведение.

См. также

• Двойное векторное произведение
• Векторное произведение
• Скалярное произведение
• Псевдоскалярное произведение

Ссылки

• Смешанное произведение векторов и его свойства. Примеры решения задач