Смешанный объём

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Смешанный объём — числовая характеристика набора из n выпуклых тел в n-мерном Евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора K_1,K_2,\dots,K_n обычно обозначается

V(K_1,K_2,\dots,K_n).

Определение[править | править вики-текст]

Пусть K_1,K_2,\dots,K_n набор из n выпуклых тел в \R^n и \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n положительные вещественные числа. Обозначим через v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) объём тела

\lambda_1\cdot K_1+\lambda_2\cdot K_2+\dots+\lambda_n\cdot K_n,

где «+» обозначает сумму Минковского и

\lambda_i\cdot K_i=\{\,\lambda\cdot x\mid x\in K_i\,\}.

Функция v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) является однородным многочленом степени n. Коэффициент этого многочлена при \lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\dots\cdot\lambda_n по определению равен n!\cdot V(K_1,K_2,\dots,K_n).

Заметим, что

v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)
=\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^n V(K_{i_1},K_{i_2},\dots,K_{i_n})\cdot\lambda_{i_1}\cdot\lambda_{i_2}\cdot\dots\cdot\lambda_{i_n}.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Для произвольный неотрицательных чисел \lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n,
     V(\lambda_1\cdot K_1,\lambda_2\cdot K_2,\dots,\lambda_n\cdot K_n)=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\dots\cdot\lambda_n\cdot V(K_1,K_2,\dots,K_n)
  • Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
  • Смешанный объём монотонен по включению тел.
  • Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
  • Смешанный объём неотрицателен.
    • Более того, V(K_1,K_2,\dots,K_n)>0 тогда и только тогда, когда в каждом K_i можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
  • Для неотрицательного целого k\le n смешанный объём n-k копий выпуклого тела K в \R^n и k копий единичного шара выражается через k-тую среднюю поперечную меру K. В частности
    • Смешанный объём набора из n копий K равен обычному объёму K.
    • Смешанный объём набора из n-1 копий K и единичного шара равен площади поверхности K.
  • Типичное число решений системы полиномиальных уравнений f_1=f_2=\dots=f_n=0 равно смешанному объёму многогранников Ньютона f_i.
  • неравенство Минковского
    V^n(K,L,\dots,L)\ge V(K)\cdot V^{n-1}(L)
  • неравенство Александрова — Фенхеля
     V(K_1, K_2, K_3, \ldots, K_n) \geq \sqrt{V(K_1, K_1, K_3, \ldots, K_n)\cdot V(K_2,K_2, K_3,\ldots,K_n)}.