Смешанный объём

Смешанный объём — числовая характеристика набора из $n$ выпуклых тел в $n$-мерном Евклидовом пространстве.

Смешанный объём набора $K_1,K_2,\dots,K_n$ обычно обозначается

$V(K_1,K_2,\dots,K_n)$.

Определение

Пусть $K_1,K_2,\dots,K_n$ набор из $n$ выпуклых тел в $\R^n$ и $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$ положительные вещественные числа. Обозначим через $v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$ объём тела

$\lambda_1\cdot K_1+\lambda_2\cdot K_2+\dots+\lambda_n\cdot K_n,$

где «$+$» обозначает сумму Минковского и

$\lambda_i\cdot K_i=\{\,\lambda\cdot x\mid x\in K_i\,\}.$

Функция $v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n)$ является однородным многочленом степени $n$. Коэффициент этого многочлена при $\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\dots\cdot\lambda_n$ по определению равен $n!\cdot V(K_1,K_2,\dots,K_n)$.

Заметим, что

$v(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) =\sum_{i_1,\dots,i_n=1}^n V(K_{i_1},K_{i_2},\dots,K_{i_n})\cdot\lambda_{i_1}\cdot\lambda_{i_2}\cdot\dots\cdot\lambda_{i_n}.$

Свойства

• Для произвольный неотрицательных чисел $\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$,

  $V(\lambda_1\cdot K_1,\lambda_2\cdot K_2,\dots,\lambda_n\cdot K_n)=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\dots\cdot\lambda_n\cdot V(K_1,K_2,\dots,K_n)$

• Смешанный объём инвариантен относительно параллельных переносов тел в наборе.
• Смешанный объём монотонен по включению тел.
• Смешанный объём непрерывен относительно метрики Хаусдорфа.
• Смешанный объём неотрицателен.
  • Более того, $V(K_1,K_2,\dots,K_n)>0$ тогда и только тогда, когда в каждом $K_i$ можно провести по отрезку так, чтобы эти отрезки были линейно независимы.
• Для неотрицательного целого $k\le n$ смешанный объём $n-k$ копий выпуклого тела $K$ в $\R^n$ и $k$ копий единичного шара выражается через $k$-тую среднюю поперечную меру $K$. В частности
  • Смешанный объём набора из $n$ копий $K$ равен обычному объёму $K$.
  • Смешанный объём набора из $n-1$ копий $K$ и единичного шара равен площади поверхности $K$.
• Типичное число решений системы полиномиальных уравнений $f_1=f_2=\dots=f_n=0$ равно смешанному объёму многогранников Ньютона $f_i$.
• неравенство Минковского

  $V^n(K,L,\dots,L)\ge V(K)\cdot V^{n-1}(L)$

• неравенство Александрова — Фенхеля

  $V(K_1, K_2, K_3, \ldots, K_n) \geq \sqrt{V(K_1, K_1, K_3, \ldots, K_n)\cdot V(K_2,K_2, K_3,\ldots,K_n)}.$