Снарк Блануша

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Снарки Блануша
Изображение
Назван в честь

Д. Д. Уоткинс

Вершин

18 (оба)

Рёбер

27 (оба)

Диаметр

4 (оба)

Обхват

5 (оба)

Автоморфизмы

8, D4 (1-й)
4, группа Клейна (2-й)

Хроматическое число

3 (оба)

Хроматический индекс

4 (оба)

Свойства

снарк (оба)
гипогамильтонов[en] (оба)
кубический (оба)
тороидальный[en] (только один)[1]

В теории графов снарки Блануша — два 3-регулярных графа с 18 вершинами и 27 рёбрами[2]. Они были найдены хорватским математиком Данило Бланушем[en] в 1946 и носят его имя[3]. Когда они были найдены, был известен всего один снарк — граф Петерсена.

Как и все снарки, снарки Блануша являются связными кубическими графами без мостов с хроматическим индексом 4. Оба имеют хроматическое число 3, диаметр 4 и обхват 5. Они негамильтоновы, но гипогамильтоновы[en][4].

Алгебраические свойства[править | править вики-текст]

Группа автоморфизмов первого снарка Блануша имеет порядок 8 и изоморфна диэдрической группе D4, группе симметрии квадрата.

Группа автоморфизмов второго снарка Блануша является абелевой группой порядка 4 и изоморфна группе Клейна, прямому произведению циклической группы Z/2Z на себя.

Характеристические многочлены первого и второго снарков Блануша :

(x-3)(x-1)^3(x+1)(x+2)(x^4+x^3-7x^2-5x+6)(x^4+x^3-5x^2-3x+4)^2\
(x-3)(x-1)^3(x^3+2x^2-3x-5)(x^3+2x^2-x-1)(x^4+x^3-7x^2-6x+7)(x^4+x^3-5x^2-4x+3).\

Обобщённые снарки Блануша[править | править вики-текст]

Существуют обобщения первого и второго снарков Блануша до двух бесконечных семейств снарков порядка 8n+10, которые обозначаются B_n^1 и B_n^2. Снарки Блануша являются наименьшими членами этих двух семейств[5].

В 2007 Мазак (J. Mazak) доказал, что цикловой хроматический индекс обобщённых снарков Блануша B_n^1 ревен 3+{\frac {2} {n}}[6].

В 2008 Геблех (M. Ghebleh) доказал, что цикловой хроматический индекс обобщённых снарков Блануша B_n^2 равен 3+{\frac {1} {\lfloor 1+3n/2\rfloor}}[7].

Галерея[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]

  1. Orbanić, Alen; Pisanski, Tomaž; Randić, Milan; Servatius, Brigitte Blanuša double // Math. Commun.. — 2004. — В. 1. — Т. 9. — С. 91–103.
  2. Weisstein, Eric W. Blanuša snarks (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  3. Danilo Blanuša[en], "Problem cetiriju boja." Glasnik Mat. Fiz. Astr. Ser. II. 1, 31-42, 1946.
  4. Eckhard Steen, "On Bicritical Snarks" Math. Slovaca, 1997.
  5. Read, R. C. and Wilson, R. J. An Atlas of Graphs. Oxford, England: Oxford University Press, pp. 276 and 280, 1998.
  6. J. Mazak, Circular chromatic index of snarks, Master's thesis, Comenius University in Bratislava, 2007.
  7. M. Ghebleh, Circular Chromatic Index of Generalized Blanuša Snarks, The Electronic Journal of Combinatorics, vol 15, 2008.