Совершенное множество

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Совершенное множествозамкнутое множество, не имеющее изолированных точек, то есть совпадающее с множеством всех своих предельных точек.

Примеры[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Теорема Кантора — Бендиксона[править | править вики-текст]

Теорема Кантора — Бендиксона является утверждением о структуре всякого несчётного замкнутого множества. Эта теорема обобщена на случай подмножеств метрического пространства со счётной базой (см. теорема Линделёфа)

Формулировка[править | править вики-текст]

Всякое несчётное замкнутое множество M есть сумма совершенного множества своих точек конденсации и не более, чем счетного множества остальных точек.

Доказательство[править | править вики-текст]

Доказательство опирается на три теоремы. Оно вытекает из теорем 2 и 3. Для доказательства достаточно заметить, что множество точек конденсации N \subset M в силу замкнутости M.

Теорема 1[править | править вики-текст]

Для того, чтобы точка a была точкой конденсации множества M, необходимо и достаточно, чтобы любая рациональная окрестность точки a содержала несчётное множество точек из M.

Пояснения[править | править вики-текст]

Рациональной окрестностью точки a любой интервал с рациональными концами, содержащими эту точку, которая может и не быть центром интервала.

Доказательство[править | править вики-текст]
Необходимость[править | править вики-текст]

Пусть a — точка конденсации и (r', r'') — произвольная рациональная окрестность точки a. Выберем \delta < \min(|r'-a|, |r''-a|). Тогда окрестность (a-\delta, a+\delta) точки a попадёт целиком в (r', r''). Так как a — точка конденсации, то (a-\delta, a+\delta), а тем самым и (r', r''), будут содержать несчётное множество точек из M.

Достаточность[править | править вики-текст]

Пусть любая рациональная окрестность точки a содержит несчётное множество точек из M. Рассмотрим произвольную окрестность (a-\delta, a+\delta) точки a и пусть r' и r'' — два рациональных числа, расположенные соответственно между a-\delta и a и между a и a+\delta. Тогда в окрестность (a-\delta, a+\delta) попадёт целиком рациональная окрестность (r', r'') а вместе с ней и несчётное множество точек из M. Но это значит, что a есть точка конденсации.

Теорема 2[править | править вики-текст]

Формулировка[править | править вики-текст]

Всякое несчётное множество M содержит несчётное множество своих точек конденсации.

Доказательство[править | править вики-текст]

Пусть R — множество точек из M, не являющимися точками конденсации множества M. Если R = \varnothing, то доказывать нечего. Пусть R \ne \varnothing и x \in R . Так как x не является точкой конденсации, то найдется рациональная окрестность (r'_{x}, r''_{x}) точки x, содержащая не более счётного множества точек из M, в том числе точек из R. Таким образом, все множество R может быть заключено в некоторую систему рациональных интервалов, каждый из которых содержит не более счётного числа точек из R. Так как всех рациональных интервалов счётное множество, то отсюда следует, что R также не более чем счётно. Тогда M \backslash R — множество точек конденсации множества M несчетно.

Теорема 3[править | править вики-текст]

Формулировка[править | править вики-текст]

Множество N точек конденсации несчётного множества M совершенно.

Доказательство[править | править вики-текст]

Покажем сначала, что N замкнуто. Пусть x \in N' и (r'_{x}, r''_{x}) — произвольный рациональный интервал, содержащий точку x. Для достаточно малого \delta интервал (x-\delta, x+\delta) попадёт целиком внутрь (r'_{x}, r''_{x}). Так как x — предельная точка для множества точек конденсации, то (x-\delta, x+\delta) содержит хотя бы одну точку конденсации x_{0}, а вместе с ней и некоторую окрестность точки x_{0}. Но тогда эта окрестность, а следовательно, и (r'_{x}, r''_{x}), содержит несчётное множество точек из M, и поскольку (r'_{x}, r''_{x}) — произвольная рациональная окрестность точки x, то x есть точка конденсации, то есть x \in N. Покажем, что N не содержит изолированных точек. Пусть x_{0} — произвольная точка из N и (x_{0}-\eta, x_{0}+\eta) — произвольная окрестность точки x_{0}. Тогда эта окрестность содержит несчётное множество точек из M . Рассмотрим несчётное множество M_{1}=M \cap (x_{0}-\eta, x_{0}+\eta). По теореме 1 оно содержит несчётное множество своих точек конденсации. Каждая точка конденсации для M_{1} есть в то же время точка конденсации для M. Следовательно, внутрь (x_{0}-\eta, x_{0}+\eta) попадает несчётное множество точек из N, и, таким образом, x_{0} не является изолированной точкой этого множества.

Литература[править | править вики-текст]

  • Соболев В. И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. 

— М.: Наука, 1968 — стр. 79.