Совершенное поле

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В общей алгебре, поле k называется совершенным если выполняется одно из следующих эквивалентных условий:

1) Любой неприводимый многочлен над k имеет различные корни в алгебраическом замыкании k.
2) Каждое конечное расширение k является сепарабельным.
3) Каждое алгебраическое расширение k является сепарабельным.
4) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и каждый элемент k является p-й степенью.
5) k имеет характеристику 0 либо k имеет характеристику p > 0 и эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом.
6) k совпадает со множеством неподвижных точек k-автоморфизмов алгебраического замыкания k.

В противном случае поле называется несовершенным.

Совершенные поля полезны тем, что теория Галуа над ними становится значительно проще, так как условие сепарабельности расширений поля выполняется автоматически.

Более общо, кольцо характеристики p называется совершенным, если эндоморфизм Фробениуса для него является автоморфизмом.[1] (В случае целостных колец это эквивалентно условию "каждый элемент является p-й степенью).

Примеры[править | править вики-текст]

Большинство полей, появляющихся на практике, совершенные. Примеры несовершенных полей доставляет алгебраическая геометрия в характеристике p > 0. Например, поле рациональных функций от одной переменной над полем характеристики p является несовершенным, так как в этом поле отсутствует p-й корень из x.

Совершенное замыкание[править | править вики-текст]

В характеристике p > 0 можно «сделать» поле k совершенным, добавив к нему корни pr-й степени (r≥1) из всех элементов. Получившееся поле называется совершенным замыканием k и обычно обозначается k^{p^{-\infty}}.

В терминах универсального свойства, совершенное замыкание кольца A характеристики p — это совершенное кольцо A_p характеристики p вместе с гомоморфизмом колец u:A\to A_p, таким что для любого совершенного кольца B характеристики p с гомоморфизмом v:B\to A_p существует единственный гомоморфизм f:A_p\to B, такой что v=f\circ u. Совершенное замыкание существует для любого кольца[2], следовательно, функтор совершенного замыкания существует и является левым сопряженным забывающего функтора из категории совершенных колец в категорию колец.

Литература[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Serre 1979, Section II.4
  2. Bourbaki 2003, Section V.5.1.4, page 111