Совершенное пространство

Совершенное топологическое пространство — топологическое пространство, в котором каждое замкнутое множество является G_δ-множеством, то есть представимо в виде счётного пересечения открытых множеств^[1].

Э. Майкл^[en] в 1953 году доказал^[2], что совершенные пространства выдерживают умножение на метризуемые, т. е. имеет место следующая теорема: произведение $X\times Y$ совершенного пространства $X$ и метризуемого пространства $Y$ есть совершенное пространство.

Известно^[2], что сами нормальность и наследственная нормальность не сохраняются при умножении на метризуемое пространство, однако произведение совершенно нормального пространства $X$ и метризуемого пространства $Y$ остаётся совершенно нормальным!

Примеры[править | править код]

Прямая $\mathbb {R}$ , отрезок $\mathbb {I}$ , евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$ и более общо — любое метризуемое пространство.
Плоскость Немыцкого $L$ является примером тихоновского совершенного неметризуемого пространства.