Соглашение Эйнштейна

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В тензорном анализе, в частности в его приложениях к общей теории относительности и дифференциальной геометрии, при записи выражений из многокомпонентных величин, пронумерованных верхними и нижними индексами (тензоров), для экономии записи бывает удобно использовать правило, называемое соглашением Эйнштейна: если одна и та же буква в обозначении индекса встречается и сверху, и снизу, то такой член полагается просуммированным по всем значениям, которые может принимать этот индекс. Например, в выражении

v_k= a_ib^i_k

буква i встречается и сверху, и снизу, поэтому это выражение считается эквивалентным сумме

v_k=\sum_i{a_ib^i_k}.

Точнее

v_k=\sum_{i=1}^n a_ib^i_k,

где n — размерность пространства, на котором определены a и b (здесь предполагается, что нумерация координат начинается с единицы).

Замечание[править | править вики-текст]

В некоторых случаях[1] (если метрический тензор полагается всегда равным \delta_{ik}) верхние и нижние индексы в формулах не различают. В таком случае суммирование ведётся по любой паре повторяющихся индексов, встречающихся в одном и том же произведении тензоров. Например, в \R^3

D_{\alpha\beta}n_\alpha = \sum_{\alpha=1}^{3} D_{\alpha\beta}n_\alpha

Используя стандартное соглашение Эйнштейна, следовало бы писать D^{\alpha}_{\beta}n_\alpha.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Например, в теории упругости. См. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.VII. Теория упругости. — М.: Наука, 1987.