Солитон

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
График «тёмного солитона»

Солито́н — структурно устойчивая уединённая волна, распространяющаяся в нелинейной среде.

Солитоны ведут себя подобно частицам (частицеподобная волна): при взаимодействии друг с другом или с некоторыми другими возмущениями они не разрушаются, а двигаются, сохраняя свою структуру неизменной. Это свойство может использоваться для передачи данных на большие расстояния без помех.

История изучения солитона началась в августе 1834 года на берегу канала Юнион вблизи Эдинбурга. Джон Скотт Рассел наблюдал на поверхности воды явление, которое он назвал уединённой волной — «solitary wave»[1][2][3].

Впервые понятие солитона было введено для описания нелинейных волн, взаимодействующих как частицы[4].

Солитоны бывают различной природы:

  • на поверхности жидкости[5] (первые солитоны, обнаруженные в природе[6]), иногда считают таковыми волны цунами и бор[7]
  • ионозвуковые и магнитозвуковые солитоны в плазме[8]
  • гравитационные солитоны в слоистой жидкости[9]
  • солитоны в виде коротких световых импульсов в активной среде лазера[10]
  • можно рассматривать в виде солитонов нервные импульсы[11]
  • солитоны в нелинейно-оптических материалах[12][13]

Математическая модель[править | править вики-текст]

Уравнение Кортевега — де Фриза[править | править вики-текст]

Одной из простейших и наиболее известных моделей, допускающих существование солитонов в решении, является уравнение Кортевега — де Фриза:


u_t - 6 u u_x + u_{xxx} = 0

Одним из возможных решений данного уравнения является уединённый солитон:

u(x,t) = - \frac{2\varkappa^2}{ \mathrm{ch}^2\,\varkappa(x-4\varkappa^2 t-\varphi) }

где 2\varkappa^2 — амплитуда солитона, \varphi — фаза. Эффективная ширина основания солитона равна \varkappa^{-1}. Такой солитон движется со скоростью v = 4\varkappa^2. Видно, что солитоны с большой амплитудой оказываются более узкими и движутся быстрее[14].

В более общем случае можно показать, что существует класс многосолитонных решений, таких что асимптотически при t\to \pm\infty решение распадается на несколько удалённых одиночных солитонов, движущихся с попарно различными скоростями. Общее N-солитонное решение можно записать в виде

u(x,t) = -2 \frac{d^2}{dx^2} \ln \det A(x,t)

где матрица A(x,t) даётся выражением

A_{nm} = \delta_{nm} + \frac{\beta_n}{\varkappa_n + \varkappa_m}\mathrm{e}^{8\varkappa_n^3 t -(\varkappa_n + \varkappa_m)x}

Здесь \beta_n, n=1,\dots,N и \varkappa_n>0, n=1,\dots,N — произвольные вещественные постоянные.

Замечательным свойством многосолитонных решений является безотражательность: при исследовании соответствующего одномерного уравнения Шрёдингера

-\partial^2_x\psi(x) + u(x)\psi(x) = E\psi(x)

с потенциалом u(x), убывающим на бесконечности быстрее чем |x|^{-1-\varepsilon}, коэффициент отражения равен 0 тогда и только тогда, когда потенциал есть некоторое многосолитонное решение уравнения КдФ в некоторый момент времени t.

Интерпретация солитонов как некоторых упруго взаимодействующих квазичастиц основана на следующем свойстве решений уравнения КдФ. Пусть при t\to -\infty решение имеет асимптотический вид N солитонов, тогда при t\to +\infty оно также имеет вид N солитонов с теми же самыми скоростями, но другими фазами, причём многочастичные эффекты взаимодействия полностью отсутствуют. Это означает, что полный сдвиг фазы k-го солитона равен

\Delta\varphi_k = \sum_{\stackrel{n=1}{n\ne k}}^{N} \Delta\varphi_{nk}

Пусть n-ый солитон движется быстрее, чем m-ый, тогда

\Delta\varphi^{+}_{n} = \Delta\varphi_{kn} = \frac{1}{\varkappa_n}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right|
\Delta\varphi^{-}_{k} = \Delta\varphi_{nk} = - \frac{1}{\varkappa_m}\ln\left| \frac{\varkappa_n+\varkappa_m}{\varkappa_n-\varkappa_m} \right|

то есть фаза более быстрого солитона при парном столкновении увеличивается на величину \Delta\varphi^{+}_{n}, а фаза более медленного — уменьшается на \Delta\varphi^{-}_{k}, причём полный сдвиг фазы солитона после взаимодействия равен сумме сдвигов фаз от попарного взаимодействия с каждым другим солитоном.

Нелинейное уравнение Шрёдингера[править | править вики-текст]

Для нелинейного уравнения Шрёдингера:

i u_t + u_{xx} + \nu \vert u \vert^2 u = 0

при значении параметра \nu > 0 допустимы уединённые волны в виде:

u \left( x,t \right) =  \left( \sqrt{\frac{2 \alpha}{\nu} } \right) \cosh^{-1} \left( \sqrt{\alpha}(x - Ut) \right) e^{i(r x-st)},

где r, s,\alpha,U — некоторые постоянные, связанные соотношениями:

U=2r
s=r^2-\alpha

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. J.S.Russell «Report on Waves»: (Report of the fourteenth meeting of the British Association for the Advancement of Science, York, September 1844 (London 1845), pp 311—390, Plates XLVII-LVII)
  2. J.S.Russell (1838), Report of the committee on waves, Report of the 7th Meeting of British Association for the Advancement of Science, John Murray, London, pp.417-496.
  3. Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир, 1987, с.12.
  4. N.J.Zabusky and M.D.Kruskal (1965), Interaction of solitons in a collisionless plasma and the recurrence of initial states, Phys.Rev.Lett., 15 pp. 240—243.Оригинал статьи
  5. Дж. Л. Лэм Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
  6. А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 40—42.
  7. А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 227—23.
  8. Солитон — статья из Физической энциклопедии
  9. Vladimir Belinski, Enric Verdaguer Gravitational solitons. — Cambridge University Press, 2001. — 258 с. — (Cambridge monographs on mathematical physics). — ISBN 0521805864.
  10. Н. Н. Розанов Мир лазерных солитонов // Природа. — 2007. — № 6.
  11. А. Т. Филиппов Многоликий солитон. — С. 241—246.
  12. А. И. Маймистов Солитоны в нелинейной оптике // Квантовая электроника. — 2010. — Т. 40. — № 9. — С. 756—781.
  13. Andrei I Maimistov Solitons in nonlinear optics (англ.) // Quantum Electronics. — 2010. — Vol. 40. — P. 756. — DOI:10.1070/QE2010v040n09ABEH014396
  14. Сазонов С. В. Оптические солитоны в средах из двухуровневых атомов // Научно-технический вестник информационных технологий, механики и оптики. 2013. Т. 5. № 87. С. 1-22.

Литература[править | править вики-текст]

  • Абловиц М., Сигур Х. Солитоны и метод обратной задачи. — М.: Мир, 1987. — 480 с.
  • Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис Х. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. — М.: Мир, 1988. — 696 с.
  • Захаров В. Е., Манаков С. В., Новиков С. П., Питаевский Л. П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. — М.: Наука, 1980. — 320 с.
  • Инфельд Э., Роуландс Дж. Нелинейные волны, солитоны и хаос. — М.: Физматлит, 2006. — 480 с.
  • Лэм Дж. Л. Введение в теорию солитонов. — М.: Мир, 1983. — 294 с.
  • Ньюэлл А. Солитоны в математике и физике. — М.: Мир, 1989. — 328 с.
  • Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: URSS, 2004. — 424 с.
  • Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. — М.: Мир, 1977. — 624 с.
  • Филиппов А. Т. Многоликий солитон // Библиотечка "Квант". — Изд. 2, перераб. и доп.. — М.: Наука, 1990. — 288 с.
  • Yaroslav V. Kartashov, Boris A. Malomed, Lluis Torner Solitons in nonlinear lattices (англ.) // Reviews of Modern Physics. — 2011. — Vol. 83. — P. 247–306.
  • Focus: Landmarks—Computer Simulations Led to Discovery of Solitons (англ.) // Physics. — 2013. — Vol. 6. — P. 15. — DOI:10.1103/Physics.6.15

Ссылки[править | править вики-текст]