Эта статья является кандидатом в добротные статьи

Соотношение Безу

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории чисел соотноше́ние Безу́ — соотношение между парой целых чисел и их наибольшим общим делителем (НОД), названное в честь французского математика Этьена Безу:

Пусть a, b — целые числа, хотя бы одно из которых не нуль. Тогда существуют такие целые числа ~x, y, что выполняется соотношение:

НОД(a, b) = x \cdot a + y \cdot b.

Другими словами, наибольший общий делитель чисел ~a, b можно всегда представить как линейную комбинацию a и b с целыми коэффициентами[1].

Соотношение НОД(a, b) = x \cdot a + y \cdot b называется соотношением Безу (для чисел a и b), а целые числа ~x, y — коэффициентами Безу. В зарубежных источниках это утверждение может называться леммой Безу или тождеством Безу[2].

Пример: НОД(12, 30) = 6. Соотношение Безу имеет вид:

6=3 \cdot 12 + (-1) \cdot 30

Возможны и другие варианты разложения НОД, например: 6=(-2) \cdot 12 + 1 \cdot 30.

Доказательство[править | править вики-текст]

Проведём доказательство по индукции. Рассмотрим алгоритм Евклида для нахождения наибольшего общего делителя (НОД) чисел a,b.

a = bq_0 + r_1
b = r_1 q_1 + r_2
r_1 = r_2 q_2 + r_3
 \dots
r_{n-2} = r_{n-1} q_{n-1} + r_n
r_{n-1} = r_n q_n

Последний остаток (r_n) равен НОД~(a,b).

Если n = 1, то соотношение Безу выполняется:

НОД(a,b) = r_1 = 1 \cdot a + (-q_0) \cdot b.

Предположим, что

r_k = x_k a + y_k b для любого k = 1 \dots n-1.

Покажем, что существуют такие целые числа x_n,  y_n, что r_n = x_n a + y_n b:

r_n = r_{n-2} - r_{n-1} q_{n-1} = (x_{n-2} a + y_{n-2} b) - (x_{n-1} a + y_{n-1} b)\cdot q_{n-1} = (x_{n-2} - x_{n-1} q_{n-1}) \cdot a + (y_{n-2} - y_{n-1} q_{n-1}) \cdot b

Отсюда следует, что выполняется соотношение Безу: НОД~(a, b) = x \cdot a + y \cdot b.

Следствия[править | править вики-текст]

Если числа a, b взаимно простые, то уравнение:

ax+by=1

имеет целочисленные решения[3]. Этот важный факт облегчает решение диофантовых уравнений первого порядка.

НОД(a, b) является наименьшим натуральным числом, которое может быть представлено в виде линейной комбинации чисел a и b с целыми коэффициентами[4].

Коэффициенты Безу[править | править вики-текст]

Неоднозначность[править | править вики-текст]

Нахождение коэффициентов Безу эквивалентно решению диофантового уравнения первого порядка с двумя неизвестными:

a x  + b y = d, где d= НОД(a, b).

Или, что то же самое:

\frac{a}{d}\ x  + \frac{b}{d}\ y = 1

Отсюда следует, что коэффициенты Безу x, y определены неоднозначно — если какие-то их значения x_0. y_0 известны, то всё множество коэффициентов даётся формулой[5]:

 \left\{ \left(x_0+\frac{kb}{d},\ y_0-\frac{ka}{d}\right) \mid k =0, \pm 1, \pm 2, \pm 3 \dots \right\}

Существуют коэффициенты Безу, удовлетворяющие неравенствам |x|\leqslant\left |\frac{b}{d}\right | и |y|\leqslant\left |\frac{a}{d}\right |.

Практический алгоритм нахождения коэффициентов[править | править вики-текст]

Для нахождения коэффициентов Безу можно использовать алгоритм Евклида нахождения НОД и представить остатки в виде линейных комбинаций a и b[6]. Шаги алгоритма записываются в следующем виде:

r_1 = a - bq_0

r_2 = b - r_1q_1 = b - (a - bq_0)q_1 = b(1 + q_0q_1) - aq_1

r_3 = r_1 - r_2q_2 = (a - bq_0) - (b(1 + q_0q_1) - aq_1)q_2 = a(1 + q_1q_2) - b(q_0 + q_2 + q_0q_1q_2)

...

r_n = r_{n-2} - r_{n-1}q_{n-1} = ... = ax + by.

Пример

Найдём соотношение Безу для a=991, b=981. Формулы алгоритма Евклида имеют вид:

991 = 1 \cdot 981 + 10
981 = 10 \cdot 98 + 1
10 = 10 \cdot 1

Таким образом, НОД(991, 981) = 1. Из этих формул получаем:

10 = 991 - 1 \cdot 981
1 = 981 - 10 \cdot 98 = 981 - 98 \cdot ( 991 - 981 ) = 99 \cdot 981 - 98 \cdot 991

В итоге соотношение Безу имеет вид:

1 = 99 \cdot 981 - 98 \cdot 991

Алгоритм вычисления с помощью непрерывных дробей[править | править вики-текст]

Альтернативный способ решения уравнения ~a x  + b y = d использует непрерывные дроби. Для простоты будем считать, что |a|>|b|. Разделим обе части уравнения на НОД: a_1 x  + b_1 y = 1. Далее разложим ~\frac{|a_1|}{|b_1|} в непрерывную дробь и подсчитаем подходящие дроби: последняя из них будет равна ~\frac{|a|}{|b|}, а из предпоследней получаем модули решения: |x| есть знаменатель этой дроби, а |y| — числитель. Осталось, исходя их первоначального уравнения, найти знаки ~x, y; для этого достаточно найти последние цифры в произведениях |ax|, |by|[7].

Обобщения[править | править вики-текст]

Соотношение Безу легко обобщается на случай, когда имеется более двух чисел[1]:

Пусть a_1, …, a_n — целые числа, не все равные нулю. Тогда существуют такие целые числа x_1, …, x_n, что выполняется соотношение:

НОД(a_1, …, a_n) = x_1\cdot a_1 + \cdots x_n\cdot a_n


Соотношение Безу может иметь место не только для целых чисел, но и в других коммутативных кольцах. Такие кольца называются кольцами Безу.

Пример: формулировка для кольца многочленов (от одной переменной):

Пусть \left(P_i\right)_{i\in I} — какое-либо семейство многочленов, и не все они равны нулю. Обозначим \Delta их наибольший общий делитель. Тогда существует такое семейство многочленов \left(A_i\right)_{i\in I}, что выполняется соотношение:

\Delta = \sum_{i\in I} A_iP_i


Коэффициенты Безу для двух многочленов от одной переменной могут быть вычислены аналогично изложенному выше для целых чисел (с помощью расширенного алгоритма Евклида)[8]. Общие корни двух многочленов являются корнями также и их наибольшего общего делителя, поэтому из соотношения Безу и основной теоремы алгебры вытекает следующий результат:

Пусть даны многочлены f(x) и g(x) с коэффициентами в некотором поле. Тогда многочлены a(x) и b(x) такие, что ~af + bg = 1, существуют тогда и только тогда, когда f(x) иg(x) не имеют общих корней ни в каком алгебраически замкнутом поле (обычно в качестве последнего берётся поле комплексных чисел).


Обобщением этого результата на любое количество многочленов и неизвестных является Теорема Гильберта о нулях.

История[править | править вики-текст]

Впервые данный факт опубликовал в 1624 году французский математик Клод Гаспар Баше де Мезириак для случая взаимно простых чисел[9]. Этьен Безу в конце XVIII века обобщил теорему, распространив её на кольцо многочленов.

См. также[править | править вики-текст]

Примечания[править | править вики-текст]

  1. 1 2 Хассе Г., 1953, с. 29.
  2. Jones, G. A., Jones, J. M. §1.2. Bezout's Identity // Elementary Number Theory. — Berlin: Springer-Verlag, 1998. — P. 7—11.
  3. Хассе Г., 1953, с. 33.
  4. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. Учебное пособие для вузов. — Наука, 1984. — С. 9. — 416 с.
  5. Гельфонд А. О. Решение уравнений в целых числах. — Наука, 1983. — С. 9—10. — 63 с. — (Популярные лекции по математике, выпуск 8).
  6. Егоров Д. Ф. Элементы теории чисел. — Москва—Петроград: Госиздат, 1923. — С. 14. — 202 с.
  7. Сушкевич А. К. Теория чисел. Элементарный курс. — Харьков: Изд-во Харьковского университета, 1954. — С. 50—51.
  8. Коблиц Н. Курс теории чисел и криптографии. — М.: Научное изд-во ТВП, 2001. — С. 19. — 259 с. — ISBN 5-94057-103-4.
  9. Claude Gaspard Bachet, sieur de Méziriac Problèmes plaisants et délectables // Problemes plaisans, qui se font par nombres. — 2nd ed.. — Pierre Rigaud & Associates, 1624. — P. 18-33.

Литература[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]