Соприкасающаяся окружность

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Osculating circle.svg

Соприкаса́ющаяся окру́жность, окру́жность кривизны́окружность, являющаяся наилучшим приближением заданной кривой в окрестности данной точки. В этой точке кривая и означенная окружность испытывают касание, порядок которого не ниже 2. Окружность кривизны существует в каждой точке дважды дифференцируемой кривой с отличной от нуля кривизной; в случае нулевой кривизны в качестве соприкасающейся надлежит рассматривать касательную прямую — «окружность бесконечного радиуса».

Соприкасающаяся окружность (или прямая) в точке P кривой также может быть определена как предельное положение окружности (или прямой), проходящей через P и две близкие к ней точки P_1,\ P_2, когда P_1,\ P_2 стремятся к P.

Связанные определения[править | править вики-текст]

Центр соприкасающейся окружности называют центром кривизны, а радиус — радиусом кривизны. Радиус кривизны является величиной, обратной кривизне кривой в заданной точке:

R^{-1} = k

Центр соприкасающейся окружности всегда лежит на главной нормали кривой; отсюда следует, что эта нормаль всегда направлена в сторону вогнутости кривой.

Геометрическое место центров кривизны кривой называется эволютой.

Свойства[править | править вики-текст]

  • Теорема Кнесера. Если кривизна плоской кривой строго монотонна, то её соприкасающиеся окружности не пересекаются друг с другом.

История[править | править вики-текст]

Понятие соприкасающейся окружности (лат. circulum osculans) было введено Лейбницем.