Сопровождающая матрица

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В линейной алгебре сопровожда́ющей ма́трицей унитарного многочлена


p(t)=c_0 + c_1 t + \dots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n

называется квадратная матрица

C(p)=\begin{bmatrix}
0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\
1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\
0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \\
\end{bmatrix}.

Свойства[править | править вики-текст]

Многочлен p(x) одновременно является характеристическим и минимальным многочленом матрицы C(p), именно в этом смысле матрица C(p) сопровождает многочлен p(x).

Если A — матрица размерности n \times n с элементами из поля \mathbb{F}, тогда следующие утверждения эквивалентны:

Не любая квадратная матрица подобна сопровождающей, но любая квадратная матрица подобна блочно-диагональной матрице, каждый из блоков которой является сопровождающей матрицей. Более того, можно подобрать эти сопровождающие матрицы так, что их многочлены будут делить друг друга. Такая матрица однозначно определяется из исходной квадратной матрицы и называется Фробениусовой нормальной формой.

Диагонализуемость[править | править вики-текст]

Если у многочлена p(x) n корней: \lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n (являющихся собственными значениями матрицы C(p)), то C(p) диагонализуема, то есть представима в виде

V C(p) V^{-1} = \mbox{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \dots,\lambda_n),

где V — матрица Вандермонда, соответствующая корням многочлена p(x).

Линейные рекуррентные последовательности[править | править вики-текст]

Транспонированная сопровождающая матрица

C^T(p)=\begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\
-c_0 & -c_1 & -c_2 & \cdots & -c_{n-1}\\
\end{bmatrix}

характеристического многочлена

p(t)=c_0 + c_1 t + \dots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n

генерирует линейную рекуррентную последовательность a_0, a_1, \dots, a_k, \dots в следующем смысле

C^T(p)\begin{bmatrix}a_k\\
a_{k+1}\\
\vdots \\
a_{k+(n-1)}
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}a_{k+1}\\
a_{k+2}\\
\vdots \\
a_{k+n}
\end{bmatrix},

где элементы последовательности удовлетворяют системе линейных уравнений

a_{k + n} = -c_0 a_k - c_1 a_{k + 1} - \dots - c_{n - 1} a_{k + n - 1}

для всех k \geq 0.

Литература[править | править вики-текст]

  • R. A. Horn, C. R. Johnson Ch. 4.3 // Matrix Analysis. — Cambridge University Press, 1985.