Сопряжённое пространство

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сопряжённое пространство или двойственное пространство — пространство линейных функционалов на данном линейном пространстве.

Линейно-сопряжённое пространство — определение[править | править вики-текст]

Пространство всех линейных функционалов, определённых на линейном пространстве E, также образует линейное пространство. Это пространство называется сопряжённым к E, оно обычно обозначается E^*.

Свойства[править | править вики-текст]

  • В конечномерном случае сопряжённое пространство E^* имеет ту же размерность, что и пространство E над полем F:
    любому базису \{ e^i \}_{i=1}^n из E можно поставить в соответствие т.н. двойственный базис \{ e_i \}_{i=1}^n из E^*, где функционал e_i\, — проектор на вектор \,e^i:
     e_i(x) = e_i(\alpha_1e^1 + \ldots + \alpha_ne^n) = \alpha_i, \quad\forall x\in E
  • Если пространство E евклидово, то есть на нём определено скалярное произведение, то существует канонический изоморфизм между E и E^*.
  • Если пространство E гильбертово, то по теореме Рисса существует изоморфизм между E и E^*.
  • В конечномерном случае верно также, что пространство, сопряжённое к сопряжённому E^{**}, совпадает с E (точнее, существует канонический изоморфизм между E и E^{**}).

Обозначения[править | править вики-текст]

В конечномерном случае обычно элементы пространства E обозначают вектором-столбцом, а элементы E^* — вектором-строкой [источник не указан 1253 дня]. В тензорном исчислении применяется обозначение x^k для элементов E (верхний, или контравариантный индекс) и x_k для элементов E^* (нижний, или ковариантный индекс).

Вариации и обобщения[править | править вики-текст]

  • В функциональном анализе, под сопряжённым пространством обычно понимают пространство непрерывных линейных функционалов.
  • Термин сопряжённое пространство может иметь иное значение для линейных пространств над полем комплексных чисел: пространство \bar E, совпадающее с E как вещественное линейное пространство, но с другой структурой умножения на комплексные числа:
    {\bar c} {\bar x} = \overline{cx}

Ссылки[править | править вики-текст]