Сопряжённые функторы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии

Сопряжённые функторы в математике и в частности в теорий категорий — это пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Неформально функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению Hom(F(X),Y) = Hom(X,G(Y)).

[править] Формальные определения

Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов, которые употребляются в литературе. Ниже приводится одно из этих определений.

Пара сопряжённых функторов между категориями C и D состоит из функторов и биекций

для каждых объектов X из C и Y из D, естественных по обоим аргументам. Естественность Φ означает, что для каждого морфизма в C и для каждого морфизма в D следующая диаграмма коммутативна:

F называется левым сопряжённым функтором G, а G — правым сопряжённым функтором F. Каждый функтор может иметь только один левый (правый) сопряжённый функтор.

[править] Единица и коединица

Каждая пара сопряжённых функторов определяет единицу сопряжения, естественное преобразование из 1_C в GF, состоящее из морфизмов

для каждого X в C. η_X определяется как

Аналогично, определяется коединица ε, естественное преобразование из FG в 1_D, состоящее из морфизмов

для каждого Y в D. определяется как

Частным случаем сопряжения является эквивалентность категорий. В этом случае единица и коединица являются изоморфизмами.

[править] Литература

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].

Это незавершённая статья по алгебре. Вы можете помочь проекту, исправив и дополнив её.