Сопряжённые функторы

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сопряжённые функторы — пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Неформально, функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению \mathrm{Hom}(F(X),Y) = \mathrm{Hom}(X, G(Y)). Тогда F называется левым сопряжённым функтором, а G — правым.

Мотивировка[править | править вики-текст]

Сопряжённые функторы — один из ключевых инструментов теории категорий, многие примечательные математические конструкции могут быть описаны как сопряжённые функторы. В результате из общих теорем о левых (правых) функторах, таких как эквивалентность различных определений и тот факт, что они сохраняются при применении копредела (предела) соответственно, могут немедленно следовать доказательства многих интересных фактов, в противном случае нетривиальных.

Решение оптимизационной задачи[править | править вики-текст]

Можно сказать, что сопряжённый функтор — это способ указания наиболее эффективного решения некоторой проблемы с помощью стандартного метода. Например, элементарная проблема из теории колец — как превратить псевдокольцо (то есть кольцо, которое может не иметь мультипликативной единицы) в кольцо. Наиболее эффективный способ это сделать — добавить в кольцо единицу, все элементы, необходимые для выполнения аксиом кольца (например, элементы типа r+1, где r — элемент кольца) и не предполагать никаких соотношений в новом кольце, которые не необходимы для выполнения аксиом. Эта конструкция стандартна в том смысле, что она работает для любого псевдокольца.

Приведенные выше способ очень расплывчат, но его можно сделать точным, используя язык теории категорий: конструкция «наиболее эффективна», если она удовлетворяет универсальному свойству, и «стандартна» в том смысле, что она задаёт функтор. Универсальные свойства делятся на начальные и терминальные, так как они двойственны, достаточно рассмотреть одну из них.

Идея использования начального свойства состоит в том, чтобы сформулировать проблему в терминах такой вспомогательной категории E, чтобы осталось лишь найти начальный объект E. Такая формулировка имеет то преимущество, что задача «нахождения наиболее эффективного решения» становится вполне строгой и в каком-то смысле сходной с задачей нахождения экстремума. Для выбора правильной категории E иногда требуется подбирать непростые приёмы: в случае полукольца R нужная категория — это категория, объекты которой — гомоморфизмы полуколец RS, где S — некоторое кольцо с единицей. Морфизмы в E между RS1 и RS2 — коммутативные треугольники вида (RS1,RS2, S1S2), где S1 → S2 — гомоморфизм колец. Существование морфизма между RS1 и RS2 ознчает что S1 — не менее эффективное решение проблемы, чем S2: S2 имеет больше добавленных элементов и (или) больше соотношений между ними, чем S1.

Сказать, что этот метод определяет «наиболее эффективное» и «стандартное» решение проблемы — то же самое, что сказать, что он задает сопряжённые функторы.

Формальные определения[править | править вики-текст]

Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов. Их эквивалентность элементарна, но не тривиальна.

Определение с помощью универсальной стрелки[⇨] легко сформулировать и требуется минимальное число проверок, чтобы доказать, что она определяет сопряжённые функторы. Оно также наиболее близко к нашей интуиции по поводу «оптимизационной задачи».

Определение с помощью единицы и коединицы[⇨] удобно для функторов, часто встречающихся в алгебре, потому что предоставляет формулы, которые можно проверить напрямую.

Определение с помощью множеств Hom[⇨] делает очевидной симметричность определения и проясняет причины для именования функторов «сопряжёнными».

Универсальная стрелка[править | править вики-текст]

Функтор F : CD — левый сопряжённый функтор, если для каждого объекта X категории C существует терминальная стрелка из F в X. Если для каждого X в C мы выберем объект G0X в D и терминальную стрелку εX : F(G0X) → X из F в X, то существует единственный функтор G : CD, такой что GX = G0X и εFG(f) = f ∘ εX для f : X — морфизма в категории C; F тогда называют левым сопряжённым для G.

Функтор G : CD — правый сопряжённый функтор, если для каждого объекта Y категории D существует начальная стрелка из Y в G. Если для каждого Y в D выбрать объект F0Y в C и начальную стрелку ηY : YG(F0Y) из Y в G, то существует единственный функтор F : CD, такой что FY = F0Y и GF(g) ∘ ηY = ηg для g : Y — морфизма в D; G тогда называют правым сопряжённым для F.

Как и подразумевает терминология, верно, что F — левый сопряжённый для G тогда и только тогда, когда G — правый сопряжённый для F. Однако это не очевидно из определения через универсальную стрелку, но очевидно благодаря определению через единицу и коединицу.

Единица и коединица[править | править вики-текст]

Для задания единицы и коединицы в категориях C и D нужно зафиксировать два функтора F : CD, G : CD и два естественных преобразования:

\begin{align}
\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\
\eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align},

называемых соответственно коединицей и единицей сопряжения, таких что композиции:

F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F и
G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G

являются тождественными преобразованиями 1F и 1G категорий F и G соответственно.

В такой ситуации F является левым сопряжённым для G и G является правым присоединённым для F. Иногда это отношение обозначают (\varepsilon,\eta):F\dashv G или просто F\dashv G .

В форме уравнений приведённые выше условия на (ε,η) называются уравнениями коединицы и единицы:

\begin{align}
1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\
1_G &= G\varepsilon \circ \eta G
\end{align}

Определение через функтор Hom[править | править вики-текст]

Рассмотрим два функтора F : CD и G : CD. Пусть существует естественный изоморфизм:

\Phi:\mathrm{hom}_C(F-,-) \to \mathrm{hom}_D(-,G-).

Это определяет семейство биекций:

\Phi_{Y,X}:\mathrm{hom}_C(FY,X) \to \mathrm{hom}_D(Y,GX).

для всех объектов X в C и Y в D.

Здесь F называется левым сопряжённым для G и G — правым сопряжённым для F.

Чтобы понять, что Φ — действительно естественный изоморфизм, нужно объяснить, каким образом homC(F-, -) и homD(-, G-) являются функторами. На самом деле, они оба являются бифункторами из Dop × C в Set. В явном виде естественность Φ означает, что для всех морфизмов f : XX в C и морфизмов g : Y ′ → Y в D следующая диаграмма коммутирует:

Naturality of Φ

Примеры[править | править вики-текст]

Свободные группы[править | править вики-текст]

Конструкция свободной группы является одним из удобных примеров, демонстрирующим суть определений. Пусть F : GrpSet — функтор, который множеству Y сопоставляет свободную группу, порожденную элементами Y и G : GrpSet — забывающий функтор, сопосталяющий группе X её множество-носитель. Тогда F — левый сопряжённый для G:

Терминальные стрелки: для каждой группы X, группа FGX — свободная группа, порождённая GX, элементами X. Пусть \varepsilon_X:FGX\to X — группа гомоморфизмов, которые посылают генераторы FGX в элементы X, к которым они относятся. Тогда каждый (GX,\varepsilon_X) — терминальный морфизм из F в X, потому что любой гомоморфизм из свободной группы FZ в X проносится через \varepsilon_X:FGX\to X при помощи единственной функции из множества Z в GX. Это означает что (F,G) — сопряжённая пара.

Множества Hom: отображения из свободной группы FY в группу X однозначно соответствуют отображениям множества Y во множество GX: каждый гомоморфизм из FY в X однозначно определяется образами генераторов. Прямым вычислением можно проверить, что это соответствие — естественное преобразование, а значит пара (F,G) сопряжённая.

Дальнейшие примеры из алгебры[править | править вики-текст]

  • Все свободные объекты — результаты применения свободного функтора, который является левым сопряжённым для забывающего функтора.
  • Произведения, ядра и уравнители — примеры категорного предела. Все функторы предела являются правыми сопряжёнными для диагонального функтора в соответствующей категории. Аналогично, копроизведения, коядра и коуравнители соответствуют копределу, и функтор копредела — левый сопряжённый для диагонального.
  • Добавление единицы в псевдокольцо (мотивационный пример). Если нам дано псевдокольцо R, то соответствующее ему кольцо — это произведение R × Z, но котором определено Z-билинейное произведение как (r,0)(0,1) = (0,1)(r,0) = (r,0), (r,0)(s,0) = (rs,0), (0,1)(0,1) = (0,1). Действительно, построенный функтор является сопряжённым слева для забывающего функтора, отправляющий кольцо в соответствующее ему подкольцо.
  • Расширения колец. Пусть R и S — кольца, и ρ : RS — гомоморфизм колец. Тогда S можно рассматривать как (левый) R-модуль, и тензорное произведение с S определяет функтор F : R-ModS-Mod. Здесь F — левый сопряжённый функтор для забывающего функтора G : S-ModR-Mod.
  • Тензорные произведения. Если R — кольцо и M — правый R-модуль, то тензорное произведение с M определяет функтор F : R-ModAb. Функтор G : AbR-Mod, определенный как G(A) = homZ(M,A) для каждой абелевой группы A является сопряжённым справа для F.
  • Поле частных. Для категории Domm целостных колец с инъективными гомоморфизмами, забывающий функтор FieldDomm имеет левый сопряжённый, сопоставляющий каждому целостному кольцу его поле частных.
  • Кольца многочленов'. Для Ring* — категории коммутативных колец с отмеченной точкой и гомоморфизмами, сохраняющими отмеченный элемент, забывающий функтор G:Ring*Ring имеет левый сопряжённый — он сопоставляет кольцу R пару (R[x], x), где R[x] — кольцо многочленов с коэффициентами из R.
  • Абелизация. Забывающий функтор G : AbGrp имеет левый сопряжённый, называемый функтором абелизации, который каждой группе G сопоставляет факторгруппу по коммутанту Gab = G/[G,G].

Примеры из топологии[править | править вики-текст]

Свойства[править | править вики-текст]

Существование[править | править вики-текст]

Не каждый функтор G : CD имеет левый сопряжённый. Если C — полная категория, то по теореме о сопряжённых функторах Петера Фрейда G имеет левый сопряжённый тогда и только тогда, когда для любого Y из категории D существует семейство морфизмов:

fi : YG(Xi),

где индексы i пробегают множество I, такое что любой морфизм:

h : YG(X)

может быть записан как:

h = G(t) o fi

для некоторого i в I и некоторого морфизма:

t : XiX в C.

Аналогичное утверждение характеризует функторы, имеющие правый сопряжённый.

Единственность[править | править вики-текст]

Если функтор F : CD имеет двух правых сопряжённых G и G, то G и G естественно изоморфны.

В другую сторону, если F — сопряжённый слева для G, и G естественно изоморфен G, то F также сопряжённый слева для G.

Композиция[править | править вики-текст]

Композиции сопряжений можно брать естественным образом. Если F, G, ε, η〉 — сопряжение между C и D, и F′, G′, ε′, η′〉 — сопряжение между D и E, то функтор:

F' \circ F : \mathcal{C} \leftarrow \mathcal{E}

сопряжён слева для:

G \circ G' : \mathcal{C} \to \mathcal{E}.

После этого можно образовать категорию, объекты которой — все малые категории, а морфизмы — сопряжения.

Сохранение при взятии предела[править | править вики-текст]

Наиболее важное свойство сопряжённых функторов — их непрерывность: каждый функтор, имеющий левый сопряжённый (то есть являющийся правым сопряжённым), коммутирует с пределами в категорном смысле. Соответственно, функтор, имеющий правый сопряжённый, конепрерывен, то есть коммутирует с копределами. Поскольку многие конструкции являются пределами или копределами, из этого сразу вытекает несколько следствий. Например:

  • Применнение правого сопряжённого функтора к произведению даёт произведение образов.
  • Применение левого сопряжённого функтора к копроизведению даёт копроизведение образов.
  • Каждый правый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен слева.
  • Каждый левый сопряжённый и аддитивный функтор между абелевыми категориями точен справа.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Маклейн С. Глава 4. Сопряжённые функторы // Категории для работающего математика = Categories for the working mathematician / Пер. с англ. под ред. В. А. Артамонова. — М.: Физматлит, 2004. — С. 95—128. — 352 с. — ISBN 5-9221-0400-4