Сопряжённые функторы

Сопряжённые функторы в математике и в частности в теории категорий — это пара функторов, состоящих в определённом соотношении между собой. Сопряжённые функторы часто встречаются в разных областях математики.

Неформально функторы F и G сопряжены, если они удовлетворяют соотношению $\mathrm{Hom}(F(X),Y) = \mathrm{Hom}(X, G(Y)).$

Формальные определения

Существуют несколько эквивалентных определений сопряжённых функторов, которые употребляются в литературе. Ниже приводится одно из этих определений.

Пара сопряжённых функторов между категориями C и D состоит из функторов $F\colon C \to D,$ $G\colon D \to C$ и биекций

$\Phi_{X,Y} \colon\, \mathrm{Hom}_D(F(X),\,Y) \to \mathrm{Hom}_C(X,\,G(Y))$

для каждых объектов X из C и Y из D, естественных по обоим аргументам. Естественность $\Phi$ означает, что для каждого морфизма $f\colon X' \to X$ в C и для каждого морфизма $g\colon Y' \to Y$ в D следующая диаграмма коммутативна:

F называется левым сопряжённым функтором G, а G — правым сопряжённым функтором F. Каждый функтор может иметь не более одного, с точностью до естественного изоморфизма, левого (правого) сопряжённого функтора.

Единица и коединица

Каждая пара сопряжённых функторов определяет единицу сопряжения, естественное преобразование из $1_C$ в GF, состоящее из морфизмов

$\eta_X \colon\, X \to GF(X)$

для каждого X в C. $\eta_X$ определяется как $\ \Phi_{X,F(X)} (id_{F(X)}).$

Аналогично, определяется коединица $\epsilon$, естественное преобразование из FG в $1_D$, состоящее из морфизмов

$\varepsilon_Y \colon\, FG(Y) \to Y.$

для каждого Y в D. $\varepsilon_Y$ определяется как $\Phi_{G(Y),Y}^{-1} (id_{G(Y)}).$

Частным случаем сопряжения является эквивалентность категорий. В этом случае единица и коединица являются изоморфизмами.

Профункторы

Вообще говоря, функтор не обязан иметь правый или левый сопряжённый. Тем удивительнее, что можно ввести естественное обобщение понятия функтора — профунктор, так что любой функтор имеет правый сопряжённый в смысле профункторов. А именно, профунктор $F:A\nrightarrow B$ из категории $A$ в категорию $B$ — это функтор $\hat F: A \to Set^{B^{op}}$. Вложение Йонеды $Y: B \to Set^{B^{op}}$, $Y: b\mapsto (b;\cdot)$ порождает вложение функторов в профункторы по правилу

$\hat F_Y = Y \circ F$

Теорема: Профунктор имеет правый сопряжённый тогда и только тогда, когда он имеет вид $Y \circ F$ для некоторого функтора $F$.

Литература

• С. Мак Лейн Категории для работающего математика. — М.: Физматлит, 2004 [1998].
• F. Borceux Handbook of Categorical Algebra 1. Basic Category Theory. — Encyclopaedia of Mathematics and its Applications. — Cambridge: Cambridge University Press, 1994. — Т. 1. — 345 p. — ISBN 0 521 44178 1