Спектральная плотность мощности

Спектральная плотность мощности (СПМ) в физике и обработке сигналов — функция, задающая распределение мощности сигнала по частотам. Её значение имеет размерность мощности, делённой на частоту, то есть энергии.

Формальное определение

Пусть $x(t)$ — сигнал, рассматриваемый на промежутке времени $\left[-\frac{T}{2},\frac{T}{2} \right]$. Тогда энергия сигнала на данном интервале равна:

$E_T=\int\limits_{-T/2}^{T/2}x^2(t)\, \mathrm{d}t$

Тогда

$\int\limits_{-\infty}^{+\infty} x(t) \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} F(j\omega)e^{j \omega t} \, \mathrm{d}\omega \, \mathrm{d}t$ =

$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)\int\limits_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{j\omega t} \, \mathrm{d}t \,\mathrm{d}\omega$ =

$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty}F(j\omega)F^{*}(j\omega)\, \mathrm{d}\omega$ =

$\frac{1}{2\pi}\int\limits_{-\infty}^{+\infty} |F_T(j\omega)|^2 \, \mathrm{d}\omega$,

где $F_T(j\omega)$ — спектральная функция сигнала. При $T \to +\infty$, средняя мощность

$W = \frac{1}{2\pi} \int\limits_{-\infty}^{+\infty} \lim_{T \to +\infty}\frac{|F_T(j \omega)|^2}{T} \,\mathrm{d}\omega$.

$S(\omega)=\lim_{T\to+\infty}\frac{|F_T(j \omega)|^2}{T}$ — спектральная плотность мощности (функция плотности спектра мощности).

Спектр плотности мощности сигнала сохраняет информацию только об амплитудах спектральных составляющих. Информация о фазе теряется. Поэтому все сигналы с одинаковым спектром амплитуд и различными спектрами фаз имеют одинаковые спектры плотности мощности.

Методы оценки

Оценка СПМ может выполняться методом преобразования Фурье, предполагающего получение спектра в области частот посредством быстрого преобразования Фурье (БПФ). До изобретения алгоритмов БПФ этот метод из-за громоздкости прямого вычисления дискретного преобразования Фурье (ДПФ) практически не использовался. Предпочтение отдавалось другим методам, в частности, методу корреляционной функции (Блэкмена-Тьюки) и периодограммному методу.

См. также

• Спектральная плотность
• Случайный процесс
• Спектр
• Преобразование Фурье
• Амплитудно-частотная характеристика
• Спектральная плотность излучения
• Периодограмма

Литература

• Цифровая обработка сигналов: Справочник. Гольденберг Л.М., Матюшкин Б.Д., Поляк М.Н. — М.: Радио и связь, 1985.
• Прикладной анализ временных рядов. Основные методы. Отнес Р., Эноксон Л. — М.: Мир, 1982.