Спинорная группа

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Спинорная группа — подмножество элементов алгебры Клиффорда над V (со скалярным произведением), состоящее из элементов вида q_1\cdot q_2\cdots q_{2n}, где q_i \in V — единичные векторы. Операцией в спинорной группе является умножение в алгебре Клиффорда.

Спинорная группа над евклидовым пространством \R^n обычно обозначается \operatorname{Spin}(n). Существует короткая точная последовательность

1\to\mathbb{Z}_2\to\operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n)\to 1

Таким образом спинорная группа является двулистным накрытием специальной ортогональной группы \operatorname{SO}(n). Гомоморфизм \operatorname{Spin}(n)\to\operatorname{SO}(n) может быть построен следующим образом: Каждому единичному вектору q можно сопоставить отражение R_q относительно гиперплоскости, перпендикулярной q. Таким образом, элементу спинорной группы q_1\cdot q_2\cdots q_{2n} можно сопоставить композицию отражений

R_{q_1,}\circ\cdots\circ R_{q_{2n}}

которая принадлежит группе SO(n).

Строение первых спинорных групп[править | править вики-текст]

 Spin(1) \simeq O(1) \simeq \Z_2 \simeq S^0
 Spin(2) \simeq U(1) \simeq S^1
 Spin(3) \simeq Sp(1) \simeq SU(2) \simeq S^3
 Spin(4) \simeq Sp(1){\times}Sp(1) \simeq SU(2){\times}SU(2) \simeq S^3{\times}S^3
 Spin(5) \simeq Sp(2)
 Spin(6) \simeq SU(4)