Список интегралов от гиперболических функций

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
Integral s.jpg
Списки интегралов
Элементарные функции

Рациональные функции
Иррациональные функции
Тригонометрические функции
Гиперболические функции
Экспоненциальные функции
Логарифмические функции
Обратные тригонометрические функции
Обратные гиперболические функции

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от гиперболических функций. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.

\int\operatorname{sh} cx\,dx = \frac{1}{c}\operatorname{ch} cx
\int\operatorname{ch} cx\,dx = \frac{1}{c}\operatorname{sh} cx
\int\operatorname{sh}^2 cx\,dx = \frac{1}{4c}\operatorname{sh} 2cx - \frac{x}{2}
\int\operatorname{ch}^2 cx\,dx = \frac{1}{4c}\operatorname{sh} 2cx + \frac{x}{2}
\int\operatorname{sh}^n cx\,dx = \frac{1}{cn}\operatorname{sh}^{n-1} cx\operatorname{ch} cx - \frac{n-1}{n}\int\operatorname{sh}^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}
также: \int\operatorname{sh}^n cx\,dx = \frac{1}{c(n+1)}\operatorname{sh}^{n+1} cx\operatorname{ch} cx - \frac{n+2}{n+1}\int\operatorname{sh}^{n+2}cx\,dx \qquad\mbox{( }n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}
\int\operatorname{ch}^n cx\,dx = \frac{1}{cn}\operatorname{sh} cx\operatorname{ch}^{n-1} cx + \frac{n-1}{n}\int\operatorname{ch}^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n>0\mbox{)}
также: \int\operatorname{ch}^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n+1)}\operatorname{sh} cx\operatorname{ch}^{n+1} cx - \frac{n+2}{n+1}\int\operatorname{ch}^{n+2}cx\,dx \qquad\mbox{(}n<0\mbox{, }n\neq -1\mbox{)}
\int\frac{dx}{\operatorname{sh} cx} = \frac{1}{c} \ln\left|\operatorname{th}\frac{cx}{2}\right| = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\operatorname{ch} cx - 1}{\operatorname{sh} cx}\right| = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\operatorname{sh} cx}{\operatorname{ch} cx + 1}\right| = \frac{1}{c} \ln\left|\frac{\operatorname{ch} cx - 1}{\operatorname{ch} cx + 1}\right|
\int\frac{dx}{\operatorname{sh}^2 cx} = - \frac{1}{c}\operatorname{cth} cx
\int\frac{dx}{\operatorname{ch} cx} = \frac{2}{c} \operatorname{arctg} e^{cx}
\int\frac{dx}{\operatorname{ch}^2 cx} = \frac{1}{c}\operatorname{th} cx
\int\frac{dx}{\operatorname{sh}^n cx} = \frac{\operatorname{ch} cx}{c(n-1)\operatorname{sh}^{n-1} cx}-\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\operatorname{sh}^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{dx}{\operatorname{ch}^n cx} = \frac{\operatorname{sh} cx}{c(n-1)\operatorname{ch}^{n-1} cx}+\frac{n-2}{n-1}\int\frac{dx}{\operatorname{ch}^{n-2} cx} \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\operatorname{ch}^n cx}{\operatorname{sh}^m cx} dx = \frac{\operatorname{ch}^{n-1} cx}{c(n-m)\operatorname{sh}^{m-1} cx} + \frac{n-1}{n-m}\int\frac{\operatorname{ch}^{n-2} cx}{\operatorname{sh}^m cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}
также: \int\frac{\operatorname{ch}^n cx}{\operatorname{sh}^m cx} dx = -\frac{\operatorname{ch}^{n+1} cx}{c(m-1)\operatorname{sh}^{m-1} cx} + \frac{n-m+2}{m-1}\int\frac{\operatorname{ch}^n cx}{\operatorname{sh}^{m-2} cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}
также: \int\frac{\operatorname{ch}^n cx}{\operatorname{sh}^m cx} dx = -\frac{\operatorname{ch}^{n-1} cx}{c(m-1)\operatorname{sh}^{m-1} cx} + \frac{n-1}{m-1}\int\frac{\operatorname{ch}^{n-2} cx}{\operatorname{sh}^{m-2} cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq 1\mbox{)}
\int\frac{\operatorname{sh}^m cx}{\operatorname{ch}^n cx} dx = \frac{\operatorname{sh}^{m-1} cx}{c(m-n)\operatorname{ch}^{n-1} cx} + \frac{m-1}{m-n}\int\frac{\operatorname{sh}^{m-2} cx}{\operatorname{ch}^n cx} dx \qquad\mbox{( }m\neq n\mbox{)}
также: \int\frac{\operatorname{sh}^m cx}{\operatorname{ch}^n cx} dx = \frac{\operatorname{sh}^{m+1} cx}{c(n-1)\operatorname{ch}^{n-1} cx} + \frac{m-n+2}{n-1}\int\frac{\operatorname{sh}^m cx}{\operatorname{ch}^{n-2} cx} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
также: \int\frac{\operatorname{sh}^m cx}{\operatorname{ch}^n cx} dx = -\frac{\operatorname{sh}^{m-1} cx}{c(n-1)\operatorname{ch}^{n-1} cx} + \frac{m-1}{n-1}\int\frac{\operatorname{sh}^{m -2} cx}{\operatorname{ch}^{n-2} cx} dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int x\operatorname{sh} cx\,dx = \frac{1}{c} x\operatorname{ch} cx - \frac{1}{c^2}\operatorname{sh} cx
\int x\operatorname{ch} cx\,dx = \frac{1}{c} x\operatorname{sh} cx - \frac{1}{c^2}\operatorname{ch} cx
\int \operatorname{th} cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\operatorname{ch} cx|
\int \operatorname{cth} cx\,dx = \frac{1}{c}\ln|\operatorname{sh} cx|
\int \operatorname{th}^2 cx\,dx = x - \frac{1}{c}\operatorname{th} cx
\int \operatorname{cth}^2 cx\,dx = x - \frac{1}{c}\operatorname{cth} cx
\int \operatorname{th}^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n-1)}\operatorname{th}^{n-1} cx+\int\operatorname{th}^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{ )}
\int \operatorname{cth}^n cx\,dx = -\frac{1}{c(n-1)}\operatorname{cth}^{n-1} cx+\int\operatorname{cth}^{n-2} cx\,dx \qquad\mbox{( }n\neq 1\mbox{)}
\int \operatorname{sh} bx \operatorname{sh} cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\operatorname{sh} cx \operatorname{ch} bx - c\operatorname{ch} cx \operatorname{sh} bx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}
\int \operatorname{ch} bx \operatorname{ch} cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\operatorname{sh} bx \operatorname{ch} cx - c\operatorname{sh} cx \operatorname{ch} bx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}
\int \operatorname{ch} bx \operatorname{sh} cx\,dx = \frac{1}{b^2-c^2} (b\operatorname{sh} bx \operatorname{sh} cx - c\operatorname{ch} bx \operatorname{ch} cx) \qquad\mbox{( }b^2\neq c^2\mbox{)}
\int \operatorname{sh} (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\operatorname{ch}(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\operatorname{sh}(ax+b)\cos(cx+d)
\int \operatorname{sh} (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\operatorname{ch}(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\operatorname{sh}(ax+b)\sin(cx+d)
\int \operatorname{ch} (ax+b)\sin (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\operatorname{sh}(ax+b)\sin(cx+d)-\frac{c}{a^2+c^2}\operatorname{ch}(ax+b)\cos(cx+d)
\int \operatorname{ch} (ax+b)\cos (cx+d)\,dx = \frac{a}{a^2+c^2}\operatorname{sh}(ax+b)\cos(cx+d)+\frac{c}{a^2+c^2}\operatorname{ch}(ax+b)\sin(cx+d)

Библиография[править | править исходный текст]

Книги
Таблицы интегралов
Вычисление интегралов