Список интегралов от экспоненциальных функций

Списки интегралов
Элементарные функции Рациональные функции Иррациональные функции Тригонометрические функции Гиперболические функции Экспоненциальные функции Логарифмические функции Обратные тригонометрические функции Обратные гиперболические функции

Эта страница — информационный список.

Ниже приведён список интегралов (первообразных функций) от экспоненциальной функции. В списке везде опущена аддитивная константа интегрирования.

Неопределённые интегралы

$\int e^{cx}\;dx = \frac{1}{c} e^{cx}$

$\int a^{cx}\;dx = \frac{1}{c \ln a} a^{cx},$ для $\! a > 0, a \ne 1$

$\int xe^{cx}\;dx = \frac{e^{cx}}{c^2}(cx-1)$

$\int x^2 e^{cx}\;dx = e^{cx}\left(\frac{x^2}{c}-\frac{2x}{c^2}+\frac{2}{c^3}\right)$

$\int x^n e^{cx}\; dx = \frac{1}{c} x^n e^{cx} - \frac{n}{c}\int x^{n-1} e^{cx} dx$

$\int\frac{e^{cx}\; dx}{x} = \ln|x| +\sum_{i=1}^\infty\frac{(cx)^i}{i\cdot i!}$

$\int\frac{e^{cx}\; dx}{x^n} = \frac{1}{n-1}\left(-\frac{e^{cx}}{x^{n-1}}+c\int\frac{e^{cx} dx}{x^{n-1}}\right),$ для $\! n\neq 1$

$\int e^{cx}\ln x\; dx = \frac{1}{c}e^{cx}\ln|x|-\operatorname{Ei}\,(cx)$

$\int e^{cx}\sin bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\sin bx - b\cos bx)$

$\int e^{cx}\cos bx\; dx = \frac{e^{cx}}{c^2+b^2}(c\cos bx + b\sin bx)$

$\int e^{cx}\sin^n x\; dx = \frac{e^{cx}\sin^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\sin x-n\cos x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\sin^{n-2} x\;dx$

$\int e^{cx}\cos^n x\; dx = \frac{e^{cx}\cos^{n-1} x}{c^2+n^2}(c\cos x+n\sin x)+\frac{n(n-1)}{c^2+n^2}\int e^{cx}\cos^{n-2} x\;dx$

$\int x e^{c x^2 }\; dx= \frac{1}{2c} \; e^{c x^2}$

$\int {1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{-{(x-\mu )^2 / 2\sigma^2}}\; dx= \frac{1}{2} (1 + \mbox{erf}\,\frac{x-\mu}{\sigma \sqrt{2}}),$ где erf(…) — функция ошибок

Определённые интегралы

$\int\limits_0^1 e^{x\cdot \ln a + (1-x)\cdot \ln b}\;\mathrm{d}x = \int\limits_0^1 \left(\frac{a}{b}\right)^{x}\cdot b\;\mathrm{d}x = \int\limits_0^1 a^{x}\cdot b^{1-x}\;\mathrm{d}x = \frac{a-b}{\ln a - \ln b}$ для $a > 0,\ b > 0,\ a \ne b$, что есть логарифмическое среднее

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}$

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$ (интеграл Гаусса)

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-ax^2} e^{2bx}\,\mathrm{d}x=\sqrt{\frac{\pi}{a}}e^{\frac{b^2}{a}} \quad (a>0)$

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x e^{-a(x-b)^2}\,\mathrm{d}x=b \sqrt{\pi \over a} \quad (a>0)$

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} x^2 e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2} \sqrt{\pi \over a^3} \quad (a>0)$

$\int\limits_{0}^{\infty} x^{n} e^{-ax^2}\,\mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{1}{2}\Gamma \left(\frac{n+1}{2}\right)/a^{\frac{n+1}{2}} & (n>-1,a>0) \\ \frac{(2k-1)!!}{2^{k+1}a^k}\sqrt{\frac{\pi}{a}} & (n=2k, k \;\text{целое}, a>0) \\ \frac{k!}{2a^{k+1}} & (n=2k+1,k \;\text{целое}, a>0) \end{cases}$ (!! — двойной факториал)

$\int\limits_{0}^{\infty} x^n e^{-ax}\,\mathrm{d}x = \begin{cases} \frac{\Gamma(n+1)}{a^{n+1}} & (n>-1,a>0) \\ \frac{n!}{a^{n+1}} & (n=0,1,2,\ldots,a>0) \\ \end{cases}$

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{b}{a^2+b^2} \quad (a>0)$

$\int\limits_{0}^{\infty} e^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a}{a^2+b^2} \quad (a>0)$

$\int\limits_{0}^{\infty} xe^{-ax}\sin bx \, \mathrm{d}x = \frac{2ab}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)$

$\int\limits_{0}^{\infty} xe^{-ax}\cos bx \, \mathrm{d}x = \frac{a^2-b^2}{(a^2+b^2)^2} \quad (a>0)$

$\int\limits_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta} d \theta = 2 \pi I_{0}(x)$ ($I_{0}$ модифицированная функция Бесселя первого рода)

$\int\limits_{0}^{2 \pi} e^{x \cos \theta + y \sin \theta} d \theta = 2 \pi I_{0} \left( \sqrt{x^2 + y^2} \right)$

$\int_0^\infty\frac{x^{s-1}}{e^x-1}\,dx, = \Gamma(s)\zeta(s)$ (Дзета-функция Римана)

Библиография

Книги

• Градштейн И. С. Рыжик И. М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений (4-е издание). М.: Наука, 1963. ISBN 0-12-294757-6 // EqWorld
• Двайт Г. Б. Таблицы интегралов СПб: «Издательство и типография АО ВНИИГ им. Б. В. Веденеева», 1995.-176 с. ISBN 5-85529-029-8.
• D. Zwillinger. CRC Standard Mathematical Tables and Formulae, 31st ed., 2002. ISBN 1-58488-291-3.
• M. Abramowitz and I. A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, 1964. ISBN 0-486-61272-4
• Корн Г.А., Корн Т.М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974.

Электронные таблицы интегралов

• Интегралы на EqWorld
• S.O.S. Mathematics: Tables and Formulas

Вычисление интегралов

Существует несколько вебсайтов, которые могут вычислять интегралы:

• The Integrator (на Wolfram Research)
• Империя Чисел