Список операторов

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Данный список содержит математические преобразования, кроме интегральных преобразований.

Выражение Задание кривой Переменные Описание
Линейные преобразования
L[y]=y^{(n)} \ Производная n-го порядка
L[y]=\int\limits_a^t\limits\! y \,dt Декартовы
координаты
y=y(t)
x=t
Интеграл, площадь
L[y]=y\circ f Оператор композиции
L[y]=\frac{y\circ t+y\circ -t}{2} Четная часть
L[y]=\frac{y\circ t-y\circ -t}{2} Нечетная часть
L[y]  =-(py')'+qy \, Оператор Штурма-Лиувилля
Нелинейные преобразования
F[y]=y^{-1}=\operatorname{inv}\,y Обратная функция
F[y]=t\,\operatorname{inv}\,y' - y\circ\operatorname{inv}\,y' Преобразование Лежандра
F[y]=f\circ y Левая композиция
F[y]=\frac{y'}{y} Логарифмическая производная
F[y]=\int\limits_a^t\limits\!|y'|\,dt Полная вариация
F[y]=\frac{1}{t-a}\int\limits_a^t\limits\! y\,dt Среднее значение
F[y]=\exp \left( \frac{1}{t-a}\int\limits_a^t\limits\! \ln y\,dt \right) Среднее геометрическое
F[y]= -\frac{y}{y'} Декартовы
координаты
y=y(x)
x=t
Подкасательная
F[x,y]= -\frac{yx'}{y'} Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
F[y]= -\frac{y^2}{y'} Полярные
координаты
y=r(\phi)
\phi=t
F[y]=\frac{1}{2}\int\limits_a^t\limits\! y^2 dt Полярные
координаты
y=r(\phi)
\phi=t
Площадь
F[y]= \int\limits_a^t\limits\!\sqrt { 1 + y'^2 }\, dt Декартовы
координаты
y=y(t)
x=t
Длина дуги
F[x,y]= \int\limits_a^t\limits\!\sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
F[y]= \int\limits_a^t\limits\! \sqrt { y^2 + y'^2 }\, dt Полярные
координаты
y=r(\phi)
\phi=t
F[y]=\frac{y''}{(1+y'^2)^{3/2}} Декартовы
координаты
y=y(t)
x=t
Кривизна
F[x,y]= \frac{x'y''-y'x''}{(x'^2+y'^2)^{3/2}} Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
F[y]=\frac{y^2+2y'^2-yy''}{(y^2+y'^2)^{3/2}} Полярные
координаты
y=r(\phi)
\phi=t
F[x,y,z]=\frac{\sqrt{(z''y'-z'y'')^2+(x''z'-z''x')^2+(y''x'-x''y')^2}}{(x'^2+y'^2+z'^2)^{3/2}} Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
F[y]=-\frac{1}{2}\left(\frac{1}{(y'')^{2/3}}\right)'' Декартовы
координаты
y=y(t)
x=t
Аффинная кривизна
F[x,y]= \frac{x''y'''-x'''y''}{(x'y''-x''y')^{5/3}}-\frac{1}{2}\left[\frac{1}{(x'y''-x''y')^{2/3}}\right]'' Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
F[x,y,z]=\frac{z'''(x'y''-y'x'')+z''(x'''y'-x'y''')+z'(x''y'''-x'''y'')}{(x'^2+y'^2+z'^2)(x''^2+y''^2+z''^2)} Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
z=z(t)
Кручение кривой
X[x,y]=\frac{y'}{yx'-xy'}

Y[x,y]=\frac{x'}{xy'-yx'}
Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
Дуальная кривая
(координаты касательной)
X[x,y]=x+\frac{ay'}{\sqrt {x'^2+y'^2}}

Y[x,y]=y-\frac{ax'}{\sqrt {x'^2+y'^2}}
Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
Параллельная кривая
X[y]=t-\frac{1+y'^2}{y''}

Y[y]=y+\frac{1+y'^2}{y''}
Декартовы
координаты
y=y(x)
x=t
Эволюта
X[x,y]=x+y'\frac{x'^2+y'^2}{x''y'-y''x'}

Y[x,y]=y+x'\frac{x'^2+y'^2}{y''x'-x''y'}
Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
F[r]=t r'\circ r^{[-1]} Натуральные
координаты
r=r(s)
s=t
X[x,y]=x-\frac{x'\int\limits_a^t\limits\!\sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}

Y[x,y]=y-\frac{y'\int\limits_a^t\limits\! \sqrt { x'^2 + y'^2 }\, dt}{\sqrt { x'^2 + y'^2 }}
Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
Эвольвента
X[x,y]=\frac{(xy'-yx')y'}{x'^2 + y'^2}

Y[x,y]=\frac{(yx'-xy')x'}{x'^2 + y'^2}
Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
Подера относительно начала координат
X[x,y]=\frac{(x'^2-y'^2)y'+2xyx'}{xy'-yx'}

Y[x,y]=\frac{(x'^2-y'^2)x'+2xyy'}{xy'-yx'}
Параметрическое,
декартовы
координаты
x=x(t)
y=y(t)
Антиподера относительно начала координат
X[y] = \int\limits_a^t\limits\!\cos \left(\int\limits_a^t\limits\!\frac{1}{y} \,dt\right) dt

Y[y] = \int\limits_a^t\limits\!\sin \left(\int\limits_a^t\limits\!\frac{1}{y} \,dt\right) dt
Натуральные
координаты
y=r(s)
s=t
Преобразование из натуральных координат в декартовы
Метрические функционалы
F[y]=||y||=\sqrt{\int\limits_E\limits\! y^2 \, dt} Норма
F[x,y]=\int\limits_E\limits\! xy \, dt Скалярное произведение
F[x,y]=\arccos \left[\frac{\int\limits_E\limits\! xy \, dt}{\sqrt{\int\limits_E\limits\! x^2 \, dt}\sqrt{\int\limits_E\limits\! y^2 \, dt}}\right] Мера Фубини-Штуди (внутренний угол)
Функционалы распределения
F[x,y] = x * y = \int\limits_E\limits\! x(s) y(t - s)\, ds Свёртка
F[y] = \int\limits_E\limits\! y \ln y \, dy Дифференциальная энтропия
F[y] = \int\limits_E\limits\!yt\,dt Математическое ожидание
F[y] = \int\limits_E\limits\!\left(t-\int\limits_E\limits\!yt\,dt\right)^2y\,dt Дисперсия

См. также[править | править исходный текст]