Спрос Хикса

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

В теории потребителя спрос Хикса отражает те наборы, которые потребитель выберет при заданных ценах и уровне полезности, решая задачу минимизации своих расходов. Назван по имени английского экономиста Хикса. Также называют компенсированным спросом.

Математическая запись[править | править вики-текст]

h(p, \bar{u}) = \arg \min_x \sum_i p_i x_i,
\text{при} \ \  u(x) \geq \bar{u},

где h(p,u) — спрос Хикса при ценах p и значении функции полезности \bar{u}.

В случае когда известна функция расходов e(p, u) и она непрерывна в точке (\bar{p},\ \bar{u}), компенсированный спрос может быть найден по лемме Шепарда и выглядит следующим образом: h_i(\bar{p},\ \bar{u}) = \nabla_p e(\bar{p},\ \bar{u}).

Двойственность в теории потребления[править | править вики-текст]

Удобство подхода Хикса заключается в том, что минимизируемая функция расходов имеет линейный вид, но переменные для функции маршалловского спроса (p, w), легче наблюдать на практике.

Если предпочтения потребителя являются непрерывными и функция полезности задана в нуле так, что \bar{u} > u(0), то спрос по Хиксу \tilde{x}(\tilde{p},\ \bar{u}) является решением задачи максимизации полезности при ценах \tilde{p} и доходе \tilde{I} = e(\tilde{p},\ \bar{u})), где e(•) — функция расходов. При этом v(e(\tilde{p},\ \bar{u})) = \bar{u}.

Обратное тоже имеет место, но при других условиях. Если предпочтения являются локально ненасыщаемыми, то маршалловский спрос \tilde{x}(\tilde{p},\ \tilde{I}) является решением задачи минимизации расходов \tilde{x}(\tilde{p},\ v(\tilde{p},\ \tilde{I})) и e(\tilde{p},\ v(\tilde{p},\ \tilde{I}))=\tilde{I}.

Свойства[править | править вики-текст]

При условии непрерывности функции полезности u(x) и задания её в нуле таким образом, что \bar{u} > u(0), спрос Хикса h(p,u) обладает следующими свойствами:

  1. Однородность нулевой степени по ценам p: для всех  a>0 , h(ap,\ u)=h(p,\ u), так как набор x, минимизирующий сумму \sum p_i x_i , также минимизирует сумму \sum ap_i x_i при том же бюджетном ограничении.
  2. Ограничение  u(x) \geq \bar{u} удовлетворяется как равенство: \forall x^* \in h(p,\ \bar{u}) u(x^*) = \bar{u} . Это следует из непрерывности функции полезности, так как можно тратить меньше на некое δe и уменьшать значение полезности на δu, пока оно не станет равным в точности  \bar{u} .
  3. Если предпочтения выпуклы, то h(p,\ \bar{u}) — выпуклое множество.
  4. Если предпочтения строго выпуклые, то h(p,\ \bar{u}) состоит из одного элемента (является функцией компенсированного спроса).
  5. Имеет место закон компенсированного спроса:
\forall x' \in h(p',\ \bar{u}),\ \ x'' \in h(p'',\ \bar{u}):\ \ (p' - p'') (x' - x'')<0.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5.