Спрос Хикса

В теории потребителя спрос Хикса отражает те наборы, которые потребитель выберет при заданных ценах и уровне полезности, решая задачу минимизации своих расходов. Назван по имени английского экономиста Хикса. Также называют компенсированным спросом.

Математическая запись

$h(p, \bar{u}) = \arg \min_x \sum_i p_i x_i,$

$\text{при} \ \ u(x) \geq \bar{u},$

где h(p,u) — спрос Хикса при ценах p и значении функции полезности $\bar{u}$.

В случае когда известна функция расходов $e(p, u)$ и она непрерывна в точке $(\bar{p},\ \bar{u})$, компенсированный спрос может быть найден по лемме Шепарда и выглядит следующим образом: $h_i(\bar{p},\ \bar{u}) = \nabla_p e(\bar{p},\ \bar{u}).$

Двойственность в теории потребления

Удобство подхода Хикса заключается в том, что минимизируемая функция расходов имеет линейный вид, но переменные для функции маршалловского спроса (p, w), легче наблюдать на практике.

Если предпочтения потребителя являются непрерывными и функция полезности задана в нуле так, что $\bar{u} > u(0)$, то спрос по Хиксу $\tilde{x}(\tilde{p},\ \bar{u})$ является решением задачи максимизации полезности при ценах $\tilde{p}$ и доходе $\tilde{I} = e(\tilde{p},\ \bar{u}))$, где e(•) — функция расходов. При этом $v(e(\tilde{p},\ \bar{u})) = \bar{u}$.

Обратное тоже имеет место, но при других условиях. Если предпочтения являются локально ненасыщаемыми, то маршалловский спрос $\tilde{x}(\tilde{p},\ \tilde{I})$ является решением задачи минимизации расходов $\tilde{x}(\tilde{p},\ v(\tilde{p},\ \tilde{I}))$ и $e(\tilde{p},\ v(\tilde{p},\ \tilde{I}))=\tilde{I}$.

Свойства

При условии непрерывности функции полезности $u(x)$ и задания её в нуле таким образом, что $\bar{u} > u(0)$, спрос Хикса $h(p,u)$ обладает следующими свойствами:

1. Однородность нулевой степени по ценам p: для всех $a>0$, $h(ap,\ u)=h(p,\ u)$, так как набор x, минимизирующий сумму $\sum p_i x_i$, также минимизирует сумму $\sum ap_i x_i$ при том же бюджетном ограничении.
2. Ограничение $u(x) \geq \bar{u}$ удовлетворяется как равенство: $\forall x^* \in h(p,\ \bar{u}) u(x^*) = \bar{u}$. Это следует из непрерывности функции полезности, так как можно тратить меньше на некое δe и уменьшать значение полезности на δu, пока оно не станет равным в точности $\bar{u}$.
3. Если предпочтения выпуклы, то $h(p,\ \bar{u})$ — выпуклое множество.
4. Если предпочтения строго выпуклые, то $h(p,\ \bar{u})$ состоит из одного элемента (является функцией компенсированного спроса).
5. Имеет место закон компенсированного спроса:

$\forall x' \in h(p',\ \bar{u}),\ \ x'' \in h(p'',\ \bar{u}):\ \ (p' - p'') (x' - x'')<0.$

См. также

• Задача минимизации расходов
• Маршалловский спрос

Литература

• Фридман А. А. Лекции по курсу микроэкономики продвинутого уровня. — М.: Издательский дом ГУ ВШЭ, 2007. — С. 71. — ISBN 978-5-7598-0335-5.