Сравнение топологий

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Сравнение топологий — это понятие, позволяющее «сравнивать» различные топологические структуры на одном и том же множестве. Множество всех топологий на фиксированном множестве образует частично упорядоченное множество относительно этого отношения.

Определение[править | править вики-текст]

Пусть \mathcal T_1 и \mathcal T_2 — две топологии на множестве X, такие что \mathcal T_1 содержится в \mathcal T_2:

\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.

Это значит, что каждое открытое множество первого топологического пространства является открытым множеством второго. В этом случае топология \mathcal T_1 называется более грубой (иногда — более слабой или меньшей), чем \mathcal T_2. Соответственно, топология \mathcal T_2 называется более тонкой (более сильной, большей). Некоторые авторы, особенно в учебниках по математическому анализу, употребляют термины «сильная топология» и «слабая топология» с противоположным значением.[1]

Бинарное отношение \subseteq задаёт структуру частичного порядка на множестве всех возможных топологий множества X.

Примеры[править | править вики-текст]

Наиболее тонкая топология на X — дискретная топология, в которой все множества открыты. Соответственно, наиболее грубая топология — тривиальная (или антидискретная) топология.

Наииболее грубая топология на X, относительно которой X удовлетворяет аксиоме отделимости T1, называется T1-топологией. Такая топология всегда существует, её можно описать явно как топологию, замкнутые множества которой — это конечные множества, а также всё X.

Свойства[править | править вики-текст]

Пусть \mathcal T_1 и \mathcal T_2 — две топологии на множестве X. Тогда следующие утверждения эквивалентны:

Также из определений немедленно следуют двнные утверждения:

  • Непрерывное отображение f:X\to Y останется непрывным, если топологию на Y заменить на более грубую (соответственно, топологию на X — на более тонкую).
  • Открытое отображение f:X\to Y останется открытым, если топологию на Y заменить на более тонкую (соответственно, топологию на X — на более грубую). Аналогичное утверждение верно для замкнутых отображений.

Решётка топологий[править | править вики-текст]

Множество топологий на X образует полную решётку относительно отношения \subseteq. Это значит, что произвольное семейство тоопологий имеет точную верхнюю и точную нижнюю грань. Точная нижняя грань — это просто пересечение топологий. С другой стороны, объединение топологий не обязательно является топологией, и точная верхняя грань семейства топологий — это топология, для которой их объединение является предбазой.

Любая полная решётка является также ограниченной, в случае топологий этому соответствуют понятия дискретной и антидискретной топологии.

Примечания[править | править вики-текст]

  1. Munkres, James R. (2000). Topology (2nd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77-78. ISBN 0-13-181629-2.