Среднее значение функции

Среднее значение функции — некоторое число, заключённое между наименьшим и наибольшим её значениями. В дифференциальном и интегральном исчислении имеется ряд «теорем о среднем», устанавливающих существование таких точек, в которых функция или её производная получает то или иное среднее значение. Наиболее важной теоремой о среднем значении функции в дифференциальном исчислении является теорема Лагранжа (теорема о конечном приращении): если $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$ и дифференцируема в интервале $(a,b)$, то существует точка $c$, принадлежащая интервалу $(a,b)$, такая, что $f(b)-f(a)=(b-a)f'(c)$. В интегральном исчислении наиболее важной теоремой о среднем значении является следующая: если $f(x)$ непрерывна на отрезке $[a,b]$, а $\varphi (x)$ сохраняет постоянный знак, то существует точка $c$ из интервала $(a,b)$ такая, что

$\int \limits _{a}^{b}f(x)\varphi (x)dx=f(c)\int \limits _{a}^{b}\varphi (x)dx.$

В частности, если $\varphi (x)=1$, то

$\int \limits _{a}^{b}f(x)dx=f(c)(b-a).$

Вследствие этого под средним значением функции $f(x)$ на отрезке $[a,b]$ обычно понимают величину

${\overline {f}}={\frac {1}{b-a}}\int \limits _{a}^{b}f(x)dx.$

Аналогично определяется среднее значение функции нескольких переменных в некоторой области.