Среднеквадратическое отклонение

Среднеквадрати́ческое отклоне́ние (синонимы: среднеквадрати́чное отклоне́ние, квадрати́чное отклоне́ние; близкие (но не совпадающие) термины: станда́ртное отклоне́ние, станда́ртный разбро́с) — в теории вероятностей и статистике наиболее распространённый показатель рассеивания значений случайной величины относительно её математического ожидания.

Основные сведения

Измеряется в единицах измерения самой случайной величины. Равно корню квадратному из дисперсии случайной величины. Среднеквадратическое отклонение используют при расчёте стандартной ошибки среднего арифметического, при построении доверительных интервалов, при статистической проверке гипотез, при измерении линейной взаимосвязи между случайными величинами.

Среднеквадратическое отклонение:

$\sigma=\sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2};$

стандартное отклонение (несмещённая оценка среднеквадратического отклонения случайной величины x относительно её математического ожидания):

$s=\sqrt{\frac{n}{n-1}\sigma^2}=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n\left(x_i-\bar{x}\right)^2};$

где $\sigma^2\,\!$ — дисперсия; $x_i\,\!$ — i-й элемент выборки; $n\,\!$ — объём выборки; $\bar{x}\,\!$ — среднее арифметическое выборки:

$\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i = \frac{1}{n} (x_1+\cdots+x_n).$

Следует отметить отличие стандартного отклонения (в знаменателе n − 1) от корня из дисперсии (среднеквадратического отклонения) (в знаменателе n). При малом объёме выборки оценка дисперсии через последнюю величину является несколько смещённой, при бесконечно большом объёме выборки разница между указанными величинами исчезает.

Правило трёх сигм

График плотности вероятности нормального распределения и процент попадания случайной величины на отрезки равные среднеквадратическому отклонению.

Правило трёх сигм ($3\sigma\,\!$) — практически все значения нормально распределённой случайной величины лежат в интервале $\left[\bar{x}-3\sigma;\bar{x}+3\sigma\right].$ Более строго — не менее чем с 99,7 % достоверностью значение нормально распределенной случайной величины лежит в указанном интервале (при условии, что величина $\bar{x}$ истинная, а не полученная в результате обработки выборки).

Если же истинная величина $\bar{x}$ неизвестна, то следует пользоваться не σ, а s. Таким образом, правило 3-х сигм преобразуется в правило трех s.

См. также

• Дисперсия случайной величины
• Генеральная совокупность
• Выборка
• Вариация (статистика)
• Абсолютное отклонение

Литература

1. Боровиков, В. STATISTICA. Искусство анализа данных на компьютере: Для профессионалов / В. Боровиков — СПб.: Питер, 2003. — 688 с. — ISBN 5-272-00078-1.