Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск

Стандартные ошибки в форме Ньюи-Уеста или состоятельные при гетероскедастичности и автокорреляции стандартные ошибки (HAC s.e. — Heteroskedasticity and Autocorrelation consistent standard errors) — применяемая в эконометрике оценка ковариационной матрицы МНК-оценок (в частности и стандартных ошибок) параметров линейной модели регрессии, альтернативная стандартной (классической) оценке, которая состоятельна при гетероскедастичности и автокорреляции случайных ошибок модели (в отличие от несостоятельной в этом случае классической оценки и стандартных ошибок в форме Уайта).

Сущность и формула[править | править вики-текст]

Истинная ковариационная матрица МНК-оценок параметров линейной модели в общем случае равна:

V(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(X^TVX)(X^TX)^{-1}

где V — ковариационная матрица случайных ошибок. В случае, если нет гетероскедастичности и автокорреляции (то есть когда V=\sigma^2 I) формула упрощается

\hat {V}(\hat {b}_{OLS})={\sigma}^2(X^TX)^{-1}

Поэтому для оценки ковариационной матрицы в классическом случае достаточно использовать оценку единственного параметра — дисперсии случайных ошибок: s^2=ESS/(n-k), которая, как можно доказать, является несмещенной и состоятельной оценкой. При наличии гетероскедастичности, но без автокорреляции, матрица V диагональна и вместо этих диагональных элементов можно использовать квадраты остатков и получить состоятельные оценки (стандартные ошибки в форме Уайта). В общем случае кроме гетероскедастичности может иметь место также и автокорреляция некоторого порядка. Следовательно, кроме диагональных элементов, необходимо оценить внедиагональные элементы, отстоящие от диагонали на L. Ньюи и Уест (Newey, West, 1987) показали, что состоятельной являются оценки следующего вида:

\hat {V}(\hat {b}_{OLS})=(X^TX)^{-1}(\sum_{t=1}^{n}e^2_{t}x_tx^T_t+\sum_{j=1}^{L}\sum_{t=j+1}^{n}w_j e_t e_{t-j}(x_tx^T_{t-j}+x_{t-j}x^T_t))(X^TX)^{-1}

Данная оценка, как видно из формулы зависит от выбранной «ширины окна» L и весовых коэффициентов w_j. Простейший вариант выбора весов — выбрать их равными единице. Однако, в этом случае, не обеспечивается необходимая положительная определенность матрицы. Второй вариант — веса Бартлета w_j=1-j/(L+1). Однако, более предпочтительным вариантом считаются веса Парзена:

w_j=
\begin{cases}
1-6(\frac {j}{L+1})^2+6(\frac {j}{L+1})^3~,~~j \leqslant(L+1)/2\\
2(1-\frac {j}{L+1})^2~,~~j>(L+1)/2
\end{cases}

Существует также проблема выбора «ширины окна» L. Обычно рекомендуется следующая оценка L=[4(n/100)^{2/9}]

Замечание[править | править вики-текст]

Иногда приведенную формулу оценки ковариационной матрицы корректируют на множитель n/(n-k). Такая корректировка теоретически позволяет получить более точные оценки на малых выборках. В то же время на больших выборках (асимптотически) эти оценки эквивалентны.

См. также[править | править вики-текст]

Литература[править | править вики-текст]

  • Магнус Я. Р., Катышев П. К., Пересецкий А. А. Эконометрика. — М.: Дело, 2004. — 576 с.
  • William H. Greene Econometric analysis. — New York: Pearson Education, Inc., 2003. — 1026 с.