Статистика Ферми — Дирака

Материал из Википедии — свободной энциклопедии
Перейти к: навигация, поиск
 Просмотр этого шаблона  Статистическая физика
S = k_B \, \ln\Omega
Термодинамика
Молекулярно-кинетическая теория
См. также: Портал:Физика
Распределение Ферми — Дирака как функция от \scriptstyle{\varepsilon/\mu}, построенная для 4-х различных температур. С ростом температуры ступенька размывается.

Статистика Фе́рми — Дира́ка в статистической физике — квантовая статистика, применяемая к системам тождественных фермионов (как правило, частиц с полуцелым спином, подчиняющихся принципу запрета Паули, то есть, одно и то же квантовое состояние не может занимать более одной частицы); определяет распределение вероятностей нахождения фермионов на энергетических уровнях системы, находящейся в термодинамическом равновесии; предложена в 1926 году итальянским физиком Энрико Ферми и одновременно английским физиком Полем Дираком, который выяснил её квантово-механический смысл; позволяет найти вероятность, с которой фермион занимает данный энергетический уровень.

Работы по статистике Ферми — Дирака были опубликованы в 1926 году, а в 1927 она была применена Арнольдом Зоммерфельдом к электронам в металле.

В статистике Ферми — Дирака среднее число частиц в состоянии с энергией \varepsilon_i есть

n_i=\frac{g_i}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-\mu}{kT}\right)+1},

где

n_i — среднее число частиц в состоянии i,
\varepsilon_i — энергия состояния i,
g_i — кратность вырождения состояния i (число состояний с энергией \varepsilon_i),
\mu — химический потенциал (который равен энергии Ферми E_F при абсолютном нуле температуры),
k — постоянная Больцмана,
T — абсолютная температура.

В (идеальном) ферми-газе в пределе низких температур \mu=E_F. В этом случае (полагая уровни энергии невырожденными g_i=1), функция распределения частиц называется функцией Ферми:

F(E)=\frac{1}{\exp\left(\dfrac{\varepsilon_i-E_F}{kT}\right)+1}.
Распределение Ферми — Дирака как функция температуры. Заполнение уровней с энергиями \scriptstyle{\varepsilon>\mu} растёт с увеличением температуры.

Применение[править | править вики-текст]

Статистики Ферми — Дирака и Бозе — Эйнштейна применяются в том случае, когда необходимо учитывать квантовые эффекты, когда частицы обладают «неразличимостью». Квантовые эффекты проявляются тогда, когда концентрация частиц N/V\geqslant n_q (где n_q — квантовая концентрация).

Квантовая концентрация — это концентрация, при которой расстояние между частицами соразмерно с длиной волны де Бройля, то есть когда волновые функции частиц соприкасаются, но не перекрываются. Квантовая концентрация зависит от температуры. Статистика Ферми — Дирака (Ф — Д) применяется к фермионам (частицы, на которые действует принцип Паули), статистика Бозе — Эйнштейна (Б — Э) применяется к бозонам. Оба этих распределения становятся распределением Максвелла — Больцмана при высоких температурах и низких концентрациях.

Распределением Максвелла — Больцмана часто описываются классические «различимые» частицы. Другими словами, конфигурация частицы A в состоянии 1 и частицы B в состоянии 2 отличается от конфигурации частицы B в состоянии 1 и частицы A в состоянии 2. Когда эта идея была проработана полностью, оказалось, что распределение частиц по энергетическим состояниям приводит к нефизическим результатам для энтропии, что известно, как парадокс Гиббса. Эта проблема исчезла, когда стал ясен тот факт, что все частицы неразличимы. И Ф — Д, и Б — Э приближаются к статистике Максвелла — Больцмана в пределе высоких температур и низких плотностей. Статистика Максвелла — Больцмана хорошо описывает поведение газов. Ф — Д часто используется для описания электронов в твердых телах, на ней, к примеру, базируются основные положения теории полупроводников в частности и электроники в целом.

Вывод распределения[править | править вики-текст]

Распределение Ферми — Дирака как функция от \scriptstyle{\varepsilon}. Высокоэнергетические состояния имеют меньшую вероятность. Или, низкоэнергетические состояния более вероятны.

Рассмотрим состояние частицы в системе, состоящей из множества частиц. Энергия такой частицы равна \varepsilon. Например, если наша система — это некий квантовый газ в «ящике», то подобное состояние может описываться частной волновой функцией. Известно, что для большого канонического ансамбля, функция распределения имеет вид

Z=\sum_s e^{-(E(s)-\mu N(s))/kT},

где

E(s) — энергия состояния s,
N(s) — число частиц, находящихся в состоянии s,
\mu — химический потенциал,
s — это индекс, пробегающий все возможные микросостояния системы.

В данном контексте, система имеет фиксированные состояния. Итак, если какое либо состояние занято n частицами, то энергия системы — n\cdot\varepsilon. Если состояние свободно, то энергия имеет значение 0. Будем рассматривать равновесные одночастичные состояния как резервуар. После того, как система и резервуар займут одно и то же физическое пространство, начинает происходить обмен частицами между двумя состояниями (фактически, это явление мы и исследуем). Отсюда становится ясно, почему используется описанная выше функция распределения, которая, через химический потенциал, учитывает поток частиц между системой и резервуаром.

Для фермионов, каждое состояние может быть либо занято одной частицей, либо свободно. Поэтому, наша система имеет два множества: занятых (разумеется, одной частицей) и незанятых состояний, обозначающихся s_1 и s_2 соответственно. Видно, что E(s_1)=\varepsilon, N(s_1)=1, и E(s_2)=0, N(s_2)=0. Поэтому функция распределения принимает вид:

Z=\sum_{i=1}^2 e^{-(E(s_i)-\mu N(s_i))/kT}=e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1.

Для большого канонического ансамбля, вероятность того, что система находится в микросостоянии s_\alpha вычисляется по формуле

P(s_\alpha)=\frac{e^{-(E(s_\alpha)-\mu N(s_\alpha))/kT}}{Z}.

Наличие состояния, занятого частицей, означает, что система находится в микросостоянии s_1, вероятность которого

\bar{n}=P(s_1)=\frac{e^{-(E(s_1)-\mu N(s_1))/kT}}{Z}=\frac{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}}{e^{-(\varepsilon-\mu)/kT}+1}=\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.

\bar{n} называется распределением Ферми — Дирака. Для фиксированной температуры T, \bar{n}(\varepsilon) есть вероятность того, что состояние с энергией \varepsilon будет занято фермионом. Обратите внимание, что \bar{n} является убывающей функцией от \varepsilon. Это соответствует нашим ожиданиям: высокоэнергетические состояния занимаются с меньшей вероятностью.

Обратите внимание, что энергетический уровень \varepsilon имеет вырождение g_\varepsilon. Теперь можно произвести простую модификацию:

\bar{n}=g_\varepsilon\cdot\frac{1}{e^{(\varepsilon-\mu)/kT}+1}.

Это число — ожидаемое число частиц, в суммарном состоянии с энергией \varepsilon.

Для всех температур T, \bar{n}(\mu)=\frac{1}{2}. Это означает, что состояния с энергией \mu всегда будут иметь одинаковую вероятность быть заполненными или свободными.

В пределе T\to 0, \bar{n} становится ступенчатой функцией (см. первый график). Все состояния с энергией меньше химического потенциала \mu будут заняты с вероятностью 1. Состояния с энергией выше химического потенциала \mu будут свободны. Химический потенциал при нулевой температуре — энергия Ферми, обозначается E_F, то есть E_F=\mu(T=0).

Влияние температуры[править | править вики-текст]

Необходимо заметить, что химический потенциал зависит от температуры. Однако для систем, имеющих температуру ниже температуры Ферми T_F=\frac{E_F}{k_B}, что часто используется, как аппроксимация, \mu\approx E_F. В реальности же:

\mu=E_F\left[1-\frac{\pi^2}{12}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^2+\frac{\pi^4}{80}\left(\frac{k_BT}{E_F}\right)^4+\ldots\right].

Другой вывод[править | править вики-текст]

См. также[править | править вики-текст]

Ссылки[править | править вики-текст]